溶液稀釋計算器 C₁V₁ = C₂V₂：原液取多少、加水到多少

計算器説明

稀釋計算器解 $C_1 V_1 = C_2 V_2$ ：從濃度 $C_1$ 的原液裏取 $V_1$ ，加溶劑到總體積 $V_2$ ，得到濃度 $C_2$ 。四個量裏任意三個已知，都能反解第四個——12 mol/L 的濃鹽酸取 10 mL 要加水到多少才是 1 mol/L、配 250 mL 的 0.5 mol/L 溶液要吸多少原液、稀釋 20 倍後測得 0.1 mol/L 的樣品原來有多濃。

這條式子只説一件事：稀釋前後溶質的量不變，變的只是體積。因為它是一個比例式，濃度不限於 mol/L——質量分數（37% 鹽酸）、g/L、mg/mL、ppm、緩衝液的「10×」倍數都能直接代入，只要 $C_1$ 與 $C_2$ 同一種單位、 $V_1$ 與 $V_2$ 同一種單位。mol 是什麼、五種濃度怎麼換算、為什麼體積要「定容」而不是相加，是化學簇錨點摩爾濃度計算器的內容，本頁只在用到時點一句。

它不做的事：不算要加多少溶劑（ $V_2 - V_1$ ，手算一步，見算例 1）；不判斷目標濃度是否高於原液（稀釋只能變稀， $C_2 > C_1$ 時給出的結果沒有物理意義，見算例 4）；不處理體積不可加、放熱、揮發；不做 mL ↔ L 換算；不能用於 pH 這類對數刻度的「濃度」。

公式與變量

C_1 V_1 = C_2 V_2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{稀釋倍數}\ \frac{C_1}{C_2} = \frac{V_2}{V_1}

四個反解（引擎全部實現）：

V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_2},\quad C_2 = \frac{C_1 V_1}{V_2},\quad V_1 = \frac{C_2 V_2}{C_1},\quad C_1 = \frac{C_2 V_2}{V_1}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$C_1$	原液（儲液）濃度	原濃度 C₁ (mol/L)	mol/L（或任何與 $C_2$ 一致的濃度單位）	$C_1 > 0$ ；默認 12（商品濃鹽酸約 12 mol/L）
$V_1$	從原液取出的體積	取用體積 V₁ (mL)	mL（或任何與 $V_2$ 一致的體積單位）	$V_1 > 0$ ；默認 10
$C_2$	稀釋後的目標濃度	目標濃度 C₂ (mol/L)	同 $C_1$	$0 < C_2 < C_1$ ；無默認值
$V_2$	稀釋後的總體積（定容體積，不是加入的溶劑量）	最終體積 V₂ (mL)	同 $V_1$	$V_2 > V_1$ ；無默認值

面板上的單位標註是 mol/L 與 mL，但公式兩邊同類量相除，單位互相抵消：填 %、g/L、L 都行，只要左右一致。要加的溶劑量 $= V_2 - V_1$ （體積可加時）。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 稀釋定律」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.chem-dilution）。打開時「原濃度 C₁」= 12、「取用體積 V₁」= 10 已填好，「目標濃度 C₂」與「最終體積 V₂」都帶「計算」標記顯示 120——這兩個 120 不是結果：引擎在另一個未知量為空時按 1 兜底， $12 \times 10 / 1 = 120$ 。填入 $C_2$ 或 $V_2$ 之一後顯示才有意義。
求最終體積（最常用）：填目標濃度 $C_2$ ，最終體積字段顯示 $C_1 V_1 / C_2$ 。要加的溶劑 $= V_2 - V_1$ 。
求目標濃度清空 $C_2$ ，填最終體積 $V_2$ ，目標濃度字段顯示 $C_1 V_1 / V_2$ 。
反解取用體積（配液最常見的反問）：清空「取用體積 V₁」，填 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $V_2$ ，字段顯示 $C_2 V_2 / C_1$ ——要用移液管吸多少原液。
反解原濃度清空「原濃度 C₁」，填 $V_1$ 、 $C_2$ 、 $V_2$ ，字段顯示 $C_2 V_2 / V_1$ ——已知稀釋後濃度反推原液。
四個都填了字段全部顯示為輸入值，引擎不再計算，也不檢查它們是否自相矛盾。要重算，清空想求的那個。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。 $C_2$ 填 0 時 $V_2$ 顯示 ∞——稀釋到零濃度需要無限體積。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 LaTeX C_1 V_1 = C_2 V_2 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 chem-dilution 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零，單位按 $C_1$ 、 $C_2$ 一致、 $V_1$ 、 $V_2$ 一致。

算例 1：12 mol/L 濃鹽酸配 1 mol/L

輸入： $C_1 = 12$ ， $V_1 = 10$ ， $C_2 = 1$ 。 $V_2 = 12 \times 10 / 1 = 120$ 。界面顯示：最終體積 V₂ 120。10 mL 原液裏有 $12 \times 0.010 = 0.12$ mol HCl，加水到 120 mL 後還是 0.12 mol， $0.12 / 0.120 = 1$ mol/L。要加的水是 $120 - 10 = 110$ mL，不是 120 mL—— $V_2$ 是總體積。

反過來核對：清空 $C_2$ ，填 $V_2 = 120$ ： $C_2 = 12 \times 10 / 120 = 1$ 。界面顯示：目標濃度 C₂ 1。稀釋倍數 $C_1/C_2 = V_2/V_1 = 12$ 。

圖 1：算例 1。兩邊溶質的點數相同（24 個），只是被更多的水隔開——這就是 C₁V₁ = C₂V₂

算例 2：配液的反問——吸多少原液

反解取用體積：要配 250 mL 的 0.5 mol/L 鹽酸，原液仍是 12 mol/L。清空 $V_1$ ，填 $C_1 = 12$ ， $C_2 = 0.5$ ， $V_2 = 250$ ： $V_1 = 0.5 \times 250 / 12 = 10.41666667$ 。界面顯示：取用體積 V₁ 10.41666667——用 10 mL 移液管加不到，實驗室會改用 25 mL 刻度移液管取 10.4 mL，或者乾脆把目標改成 12 mol/L 整除的組合。

再一例：1 mol/L 儲液配 500 mL 的 0.1 mol/L。清空 $V_1$ ，填 $C_1 = 1$ ， $C_2 = 0.1$ ， $V_2 = 500$ ： $V_1 = 50$ 。界面顯示：50——吸 50 mL 儲液進 500 mL 容量瓶，定容。稀釋 10 倍。

反解原濃度：一份未知濃度的樣品取 5 mL 稀釋到 100 mL，測得 0.1 mol/L。清空 $C_1$ ，填 $V_1 = 5$ ， $C_2 = 0.1$ ， $V_2 = 100$ ： $C_1 = 0.1 \times 100 / 5 = 2$ 。界面顯示：原濃度 C₁ 2。這是分析化學裏最常見的用法：樣品太濃儀器測不準，先稀釋再測，最後乘回稀釋倍數 20。

算例 3：逐級稀釋——十倍、十倍、再十倍

微生物計數、酶活測定要把濃度降低幾個數量級，一步吸 1 μL 到 10 L 不現實，於是逐級做。0.1 mol/L 的溶液取 1 mL 加稀釋劑到 10 mL： $C_1 = 0.1$ ， $V_1 = 1$ ， $V_2 = 10$ ： $C_2 = 0.01$ 。界面顯示：目標濃度 C₂ 0.01。把這 0.01 當作新的 $C_1$ ，再取 1 mL 到 10 mL： $C_1 = 0.01$ ， $V_1 = 1$ ， $V_2 = 10$ ：界面顯示 0.001。每一級稀釋 10 倍， $n$ 級後總稀釋倍數 $10^n$ ；三級就是 1000 倍。

操作上每一級是「1 mL 樣品 + 9 mL 稀釋劑」——加入的稀釋劑是 $V_2 - V_1 = 9$ ，不是 10。一級的移液誤差會被後面每一級原樣放大，所以每級都要用校準過的移液器。

算例 4：百分比也能用，以及兩個「不能」

質量分數直接代入：5% 的含氯漂白劑要配成 0.5% 的消毒液，取 100 mL。 $C_1 = 5$ ， $V_1 = 100$ ， $C_2 = 0.5$ ： $V_2 = 1000$ 。界面顯示：最終體積 V₂ 1000——100 mL 漂白劑兑水到 1 L，稀釋 10 倍。單位是 %，公式不在乎。

95% 酒精配 70% 消毒酒精 500 mL：清空 $V_1$ ，填 $C_1 = 95$ ， $C_2 = 70$ ， $V_2 = 500$ ： $V_1 = 70 \times 500 / 95 = 368.42105263$ 。界面顯示：取用體積 V₁ 368.42105263——量 368 mL 酒精，加水定容到 500 mL。這裏不能用「加 132 mL 水」：乙醇與水混合體積收縮，368 + 132 得到的不到 500 mL，濃度會略高於 70%。

不能濃縮： $C_1 = 1$ ， $V_1 = 10$ ， $C_2 = 2$ ：引擎給出 $V_2 = 5$ 。界面顯示 5——比取用體積還小。公式在代數上成立，物理上卻要求「拿走 5 mL 水」，那是蒸發濃縮，不是稀釋。目標濃度高於原液時，結果沒有意義。

不能用於 pH：pH 1 的鹽酸稀釋 10 倍是 pH 2，不是「pH 10」。pH 是 $[\text{H}^+]$ 的負對數， $C_1 V_1 = C_2 V_2$ 只對與溶質量成正比的濃度成立；要先把 pH 換回 $[\text{H}^+] = 10^{-\text{pH}}$ ，稀釋後再取對數。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把目標濃度改成 0.5、0.1、0.01 看最終體積按 240、1200、12000 mL 反比增長；把原濃度改成 37（質量分數）、目標 10，看百分比同樣適用。

原理與推導

從「溶質不變」到 $C_1V_1 = C_2V_2$

濃度的定義是 $c = n/V$ （摩爾濃度），所以溶液裏溶質的物質的量是 $n = cV$ 。稀釋只是往裏加溶劑：溶質一個分子都沒多、也沒少。於是稀釋前 $n = C_1 V_1$ ，稀釋後 $n = C_2 V_2$ ，兩者相等——這就是全部推導。圖 1 裏兩邊各 24 個點，是這句話的圖示。

因為等式兩邊是同一個 $n$ ，它對任何「量 = 濃度 × 體積」形式的濃度都成立：質量濃度（g/L × L = g）、質量分數（近似地，當溶液密度變化不大時）、ppm、活度單位/mL、菌落數/mL。這也是為什麼面板標着 mol/L 與 mL，卻可以填 % 和 L。

稀釋倍數與反比例

把等式改寫成 $C_2 / C_1 = V_1 / V_2$ ：濃度縮小的倍數等於體積放大的倍數。 $n$ 固定時 $C$ 與 $V$ 成反比例。「稀釋 12 倍」「1 : 11 稀釋」「12× 儲液」説的都是 $V_2 / V_1 = 12$ ——注意「1 : 11」是 1 份原液加 11 份溶劑，總體積 12 份，與「1 : 12」（總 13 份）不同，實驗記錄裏兩種寫法都有，用前要確認。

為什麼是「定容」而不是「加多少水」

$V_2$ 是稀釋後溶液的總體積。最可靠的做法是用容量瓶：先加原液，再加溶劑到刻度線，晃勻。這樣 $V_2$ 就是容量瓶的標稱容量，與體積是否可加無關。「加 $V_2 - V_1$ 的水」只有在體積可加時才等價——稀水溶液近似可加，乙醇與水、濃酸與水都不可加（算例 4 的酒精）。容量瓶按 20 °C 校準（ISO 1042），A 級 250 mL 瓶允差 ±0.15 mL；温度偏離 20 °C 每 10 °C 帶來約 0.2% 的體積漂移。

逐級稀釋的數學

$n$ 級各稀釋 $d_i$ 倍，總倍數是乘積 $\prod d_i$ ；每級都是 10 倍時是 $10^n$ 。誤差也按乘法傳播：每級 1% 的相對誤差，三級後約 3%。因此微生物計數里常用「兩種不同級數的稀釋各做平行」來互相校核。逐級稀釋在細菌學中由科赫時代（19 世紀 80 年代）的固體培養基計數方法確立，至今仍是菌落計數的標準前處理。

一點歷史

容量分析——用已知濃度的溶液按體積計量另一溶液——由蓋-呂薩克在 1824 年前後系統建立，他也給「移液管」（pipette）、「滴定管」（burette）起了名字。有了準確的移液管和容量瓶，「取 $V_1$ 定容到 $V_2$ 」才成為可重複的操作， $C_1 V_1 = C_2 V_2$ 也才從代數恆等式變成實驗室的日常工具。

假設

溶質守恆：稀釋過程中溶質不揮發、不反應、不析出、不被容器吸附。
$V_2$ 是定容後的總體積：不是加入的溶劑體積。
濃度與溶質量成正比：mol/L、g/L、%、ppm 可以；pH、pKa 這類對數量不可以。
同類單位一致： $C_1$ 與 $C_2$ 同單位， $V_1$ 與 $V_2$ 同單位，面板上的 mol/L、mL 只是標註。
温度不變：體積按同一温度口徑。
界面口徑： $C_2$ 、 $V_2$ 都為空時兩者顯示 120（分母按 1 兜底）； $C_2 = 0$ 顯示 ∞；四個都填時不計算也不校驗。

適用範圍與限制

能算: 四個量知三求一；任意正數；任何線性濃度單位；逐級稀釋逐級代入。
只能近似: 以「加 $V_2 - V_1$ 溶劑」代替定容，在稀水溶液裏誤差很小，有機溶劑、濃酸鹼不可如此；質量分數代入時隱含「溶液密度變化可忽略」。
不能算: 要加的溶劑量（手算 $V_2 - V_1$ ）；混合兩種不同濃度溶液的結果（那是加權平均， $C = (C_1 V_1 + C_2 V_2)/(V_1 + V_2)$ ）；濃縮（ $C_2 > C_1$ 無意義）；pH 的稀釋（先換回 $[\text{H}^+]$ ）；反應中消耗的溶質。
不做: 單位換算；安全判斷。
數值: 8 位小數，去尾零。

常見誤區

把 $V_2$ 當成要加的水：算例 1 要加 110 mL，不是 120（圖 1）。
單位左右不一致： $V_1$ 填 mL、 $V_2$ 填 L 會差 1000 倍； $C_1$ 填 mol/L、 $C_2$ 填 % 結果無意義。同類量同單位即可。
以為面板只認 mol/L：% 、g/L、ppm 都能填，公式是比例式（算例 4）。
用公式「濃縮」： $C_2 > C_1$ 得到的 $V_2 < V_1$ 沒有物理意義（算例 4）。
對 pH 用 C₁V₁：pH 是對數，稀釋 10 倍 pH 變 1，不是變 10 倍。
有機溶劑按體積相加：乙醇加水體積收縮，要定容而不是加固定量的水（算例 4）。
把打開面板時的 120 當結果：那是分母兜底 1 造成的，填入 $C_2$ 或 $V_2$ 後才有效。
「1 : 10」的兩種讀法：1 + 9 還是 1 + 10，確認後再算。

典型使用場景

教學

溶質守恆到 $C_1V_1 = C_2V_2$ 的推導；稀釋倍數與反比例；定容與體積不可加；pH 為什麼不能直接稀釋。

實驗室配液

從商品濃酸鹼、儲液配工作液：反解取用體積；樣品預稀釋後反推原濃度；緩衝液從 10× 儲液配 1×。

生物與微生物

逐級十倍稀釋後菌落計數；酶、抗體、DNA 的梯度稀釋；細胞懸液調整到目標密度（個/mL 同樣適用）。

日常與消毒

漂白劑、消毒液、農藥、清潔劑按標籤百分比稀釋；酒精從 95% 配 70%–75%。

常見問題

為什麼打開面板時目標濃度和最終體積都是 120？

兩個未知量都為空時，引擎把另一個未知量按 1 兜底， $12 \times 10 / 1 = 120$ 。填入 $C_2$ 或 $V_2$ 任一個，另一個才是真正的結果。

要加多少水？

$V_2 - V_1$ 。算例 1 是 $120 - 10 = 110$ mL。面板只給總體積。

濃度單位一定要是 mol/L 嗎？體積一定要 mL 嗎？

不一定。 $C_1$ 與 $C_2$ 同單位、 $V_1$ 與 $V_2$ 同單位就行，%、g/L、ppm、L 都可以。

目標濃度比原液高怎麼辦？

稀釋做不到，公式給出的 $V_2 < V_1$ 沒有意義。要濃縮得蒸發溶劑或重新配製。

pH 2 的酸稀釋 100 倍 pH 是多少？

約 pH 4。 $[\text{H}^+]$ 從 $10^{-2}$ 變為 $10^{-4}$ 。不能把 pH 值代進 $C_1V_1 = C_2V_2$ 。

為什麼強調「定容」？

體積不一定可加：乙醇加水會收縮，濃酸加水會放熱膨脹。用容量瓶加溶劑到刻度線， $V_2$ 才準確。

兩種濃度的溶液混在一起怎麼算？

那不是稀釋，是混合： $C = (C_1V_1 + C_2V_2)/(V_1 + V_2)$ ，手算。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulasScience.ts 中的 chem-dilution 定義（compute(known, solveFor) 對 V₂ / C₂ / V₁ / C₁ 四向求解，分母為空時按 1 兜底）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Dilution (equation)（访问日期：2026-09-09）—— $C_1V_1 = C_2V_2$ 的推導、稀釋倍數與適用條件。
Wikipedia, Serial dilution（访问日期：2026-09-09）——逐級稀釋的倍數、誤差傳播與微生物計數中的用法。
Wikipedia, Volumetric flask（访问日期：2026-09-09）——定容操作、A/B 級允差與 20 °C 校準。
Wikipedia, Titration（访问日期：2026-09-09）——蓋-呂薩克 1824 年建立容量分析並命名移液管、滴定管的歷史。
Wikipedia, Sulfuric acid（访问日期：2026-09-09）——濃酸稀釋放熱與「酸入水」的安全依據。
ISO 1042:1998, Laboratory glassware — One-mark volumetric flasks——單標線容量瓶的容量允差與 20 °C 參考温度。

隱私

所有輸入與計算都在你的瀏覽器內完成，不會上傳到服務器；本頁説明文字是靜態內容，不包含也不會記錄任何用户輸入。

來源與審閲

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Dilution (equation)（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Serial dilution（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Volumetric flask（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Titration — History（Gay-Lussac 1824 年的容量分析）（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Sulfuric acid — Safety（濃酸稀釋放熱與「酸入水」）（访问日期：2026-09-09）
ISO 1042:1998 Laboratory glassware — One-mark volumetric flasks（單標線容量瓶的容量允差與 20 °C 校準温度）