운동량 계산기 p = mv: 충격량·보존·충돌
계산기 설명 운동량 계산기는 p = m v p = mv p = m v m m m v v v p p p 이 운동하는 물체를 멈추려면 얼마나 큰 힘을 얼마 동안 가해야 하는가 , 그리고 두 물체가 충돌한 뒤 어떤 속도로 움직이는가를 답해 줍니다.
자동차 추돌, 당구공 충돌, 총의 반동, 로켓의 제트 추진, 에어백이 유용한 이유가 모두 운동량 문제입니다. 이 사이트의 다른 물리 페이지와 마찬가지로 여기서도 「1차원 부호 포함」 기준을 씁니다. 양의 방향을 먼저 정하고 같은 방향의 속도는 양수, 반대 방향은 음수로 두면 운동량에도 부호가 붙습니다. 이는 운동에너지와 확연히 다른 점입니다. SI 단위, 차원, 벡터와 스칼라의 일반적인 논의는 뉴턴 제2법칙 을, 일과 에너지의 논의는 운동에너지 계산기 를 보십시오. 이 페이지는 운동량에 고유한 부분, 즉 충격량, 보존과 충돌만 다룹니다.
하지 않는 일도 있습니다. 충돌을 직접 계산하지 않고(이 계산기로 충돌 전후의 운동량을 각각 구해 보존식을 손으로 세워야 합니다), 각운동량(L = I ω L = I\omega L = I ω γ m v \gamma mv γ m v
이 계산기에서 계산하는 방법 01 패널 열기 이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 운동량」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-momentum)에 대응합니다. 열면 「질량 m」= 1, 「속도 v」= 5가 채워져 있고 「운동량 p」가 「계산」 표시와 함께 5를 보여 줍니다. 02 운동량 구하기 질량과 속도를 고치면 됩니다. 속도는 먼저 m/s로 바꾸고, 반대 방향 운동은 음수로 넣으십시오. 03 질량 역산 「질량 m」을 비우고 「운동량 p」와 「속도 v」를 채우면 질량 필드가 「계산」으로 바뀌어 p / v p/v p / v 04 속도 역산 「속도 v」를 비우고 「운동량 p」와 「질량 m」을 채우면 속도 필드에 p / m p/m p / m p p p 05 충돌 계산 물체마다 충돌 전 운동량을 따로 구해 더하면 총운동량이 됩니다. 충돌 후에는 총운동량과 총질량(붙어 있을 때)을 「운동량 p」와 「질량 m」에 넣어 공통 속도를 역산합니다. 예 3을 보십시오. 06 결과 읽기 값은 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 질량에 0을 넣고 속도를 역산하면 ∞가 표시됩니다(0으로 나눔). 07 공식 복사 패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 LaTeX p = mv를 클립보드에 복사합니다. 계산 예 네 가지 계산 예는 모두 엔진 phys-momentum의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거이며, 단위는 kg, m/s, kg·m/s입니다.
예 1: 기본 입력과 부호
입력: m = 1 m = 1 m = 1 v = 5 v = 5 v = 5 p = 1 × 5 = 5 p = 1 \times 5 = 5 p = 1 × 5 = 5 5 .
m = 3 m = 3 m = 3 v = 4 v = 4 v = 4 12 가 표시됩니다. m = 2 m = 2 m = 2 v = − 3 v = -3 v = − 3 −6 이 표시됩니다. 음의 방향으로 운동하므로 운동량이 음수입니다. 운동량과 운동에너지가 처음 갈라지는 지점입니다. 같은 물체, 같은 속력이라도 운동에너지 페이지는 방향과 무관하게 9 J을 표시합니다.
예 2: 자동차, 총알, 트럭 — 운동량의 규모
물체
m m m v v v 화면 표시 p p p
자동차 100 km/h
1500
27.77777778
41666.66666667
저속 주행 트럭
20000
2
40000
총알
0.008
400
3.2
축구공 슛
0.45
30
13.5
걷는 사람
70
1.4
98
달리는 사람
70
5
350
100 km/h의 자동차와 2 m/s(7.2 km/h)로 기어가는 20톤 트럭은 운동량이 거의 같습니다. 둘을 멈추게 하는 데 필요한 「힘 × 시간」도 같습니다. 총알의 운동량은 3.2 kg·m/s로 축구공보다도 작지만, 운동에너지 640 J은 축구공(202.5 J)보다 훨씬 큽니다. 운동량은 속도에 선형으로, 운동에너지는 속도의 제곱으로 자라므로 속도가 높을수록 둘의 차이가 커집니다. 사격할 때 총의 반동 운동량도 3.2 kg·m/s이고, 4 kg 총의 반동 속도는 3.2 / 4 = 0.8 3.2 / 4 = 0.8 3.2/4 = 0.8
예 3: 완전비탄성 충돌 — 운동량은 보존되고 운동에너지는 아니다
2 kg 슬라이더가 3 m/s로 정지한 1 kg 슬라이더에 부딪혀 둘이 붙어 버립니다.
충돌 전: m = 2 m = 2 m = 2 v = 3 v = 3 v = 3 6 이 표시되고, 정지한 슬라이더의 운동량은 1 × 0 = 0 1 \times 0 = 0 1 × 0 = 0
충돌 후: 붙어 있는 총질량 3 kg. v v v p = 6 p = 6 p = 6 m = 3 m = 3 m = 3 2 가 표시됩니다.
검산: m = 3 m = 3 m = 3 v = 2 v = 2 v = 2 6 이 표시되어 충돌 전과 같습니다. 운동량이 보존됩니다.
운동에너지는 어떨까요? 충돌 전 1 2 × 2 × 3 2 = 9 \tfrac12 \times 2 \times 3^2 = 9 2 1 × 2 × 3 2 = 9 1 2 × 3 × 2 2 = 6 \tfrac12 \times 3 \times 2^2 = 6 2 1 × 3 × 2 2 = 6 운동량은 (외력이 없는 한) 모든 충돌에서 보존되고, 운동에너지는 완전탄성 충돌에서만 보존됩니다. 이것이 충돌을 분석할 때 운동에너지가 아니라 운동량을 쓰는 근본적인 이유입니다.
그림 1: 예 3. 총운동량은 충돌 전후 모두 6 kg·m/s이고 운동에너지는 9 J에서 6 J로 줄어든다. 오른쪽을 양으로 잡았으며, 둘이 정면으로 충돌하면 음수를 붙여 더해야 한다 예 4: 역산과 충격량
질량 역산 : 운동량 12 kg·m/s, 속도 4 m/s에서 m m m m = 12 / 4 = 3 m = 12 / 4 = 3 m = 12/4 = 3 3 .
속도 역산 : 운동량 100 kg·m/s, 질량 0.5 kg에서 v v v v = 100 / 0.5 = 200 v = 100 / 0.5 = 200 v = 100/0.5 = 200 200 . 이어서 「얼마나 무거운 트럭이 어느 속도로 가야 예 2의 자동차와 같은 운동량을 갖는가」를 물으면 p = 41666.66666667 p = 41666.66666667 p = 41666.66666667 m = 20000 m = 20000 m = 20000 2.08333333 m/s가 표시됩니다.
충격량 (손 계산): 예 2의 축구공이 정지에서 30 m/s로 차이면 Δ p = 13.5 \Delta p = 13.5 Δ p = 13.5 F = Δ p / Δ t = 13.5 / 0.01 = 1350 F = \Delta p / \Delta t = 13.5 / 0.01 = 1350 F = Δ p /Δ t = 13.5/0.01 = 1350 Δ p = 41666.67 \Delta p = 41666.67 Δ p = 41666.67 Δ t \Delta t Δ t Δ p \Delta p Δ p F F F
그림 1의 충돌 전 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. 속도를 −3으로 바꾸면 운동량의 부호가 바뀌고, 질량을 3, 속도를 2로 바꾸면 충돌 후와 같은 6이 나옵니다.
원리와 유도 뉴턴 제2법칙의 원래 형태
뉴턴은 《원리》에서 「운동의 양」을 속도와 물질의 양의 곱, 즉 운동량으로 먼저 정의하고 나서 제2법칙을 「운동의 변화는 가해진 동력에 비례한다」로 썼습니다: F ⃗ = d p ⃗ d t \vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} F = d t d p F = m a F = ma F = ma 뉴턴 제2법칙 참고), 질량이 변할 때(로켓의 제트, 컨베이어 벨트 위의 모래)는 운동량 형태만 맞습니다. 그래서 운동량은 F = m a F = ma F = ma m v mv m v
충격량-운동량 정리
F = d p / d t F = \mathrm dp/\mathrm dt F = d p / d t ∫ F d t = Δ p \int F\,\mathrm dt = \Delta p ∫ F d t = Δ p J J J J = F Δ t J = F\Delta t J = F Δ t
운동에너지 페이지의 일-운동에너지 정리와 나란히 두면 이렇습니다. 힘 × 시간은 운동량을, 힘 × 거리는 운동에너지를 준다. F Δ t = Δ p F\Delta t = \Delta p F Δ t = Δ p F s = Δ E k Fs = \Delta E_k F s = Δ E k F = m a F = ma F = ma
운동량이 보존되는 이유
두 물체가 상호작용할 때 뉴턴 제3법칙에 따라 두 물체가 받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며 작용 시간도 같습니다. 그래서 충격량도 같고 반대이므로 한쪽이 + Δ p +\Delta p + Δ p − Δ p -\Delta p − Δ p
충돌의 분류
두 물체의 충돌 전 운동량 합을 P P P
완전비탄성 (붙어 있음): 공통 속도 v = P / ( m 1 + m 2 ) v = P / (m_1 + m_2) v = P / ( m 1 + m 2 ) 완전탄성 : 운동량과 운동에너지가 모두 보존되어 충돌 후 두 속도를 풀 수 있습니다. 질량이 같으면 두 공이 속도를 교환합니다(당구, 뉴턴 진자).일반 충돌 : 둘 사이에 있고 반발계수 e e e e = 1 e = 1 e = 1 e = 0 e = 0 e = 0
이 계산기는 물체 하나의 p = m v p = mv p = m v
운동량과 운동에너지의 대조
운동량 p = m v p = mv p = m v
운동에너지 E k = 1 2 m v 2 E_k = \tfrac12 mv^2 E k = 2 1 m v 2
유형
벡터(방향/부호 있음)
스칼라(항상 음수 아님)
속도에 따라
선형
제곱
힘으로 생성
F Δ t F\Delta t F Δ t F s Fs F s
충돌에서
항상 보존(외력 없음)
탄성 충돌에서만 보존
둘의 관계
E k = p 2 / ( 2 m ) E_k = p^2 / (2m) E k = p 2 / ( 2 m ) 예 2의 총알: 3.2 2 / ( 2 × 0.008 ) = 640 3.2^2 / (2 \times 0.008) = 640 3. 2 2 / ( 2 × 0.008 ) = 640
똑같은 두 공이 같은 속력으로 정면 충돌하면 총운동량은 0이지만 총운동에너지는 0이 아닙니다. 충돌 후 완전히 멈출 수 있고(운동량 보존이 허용), 운동에너지는 전부 열과 변형으로 바뀝니다.
가정
1차원, 부호 포함 : 모든 속도가 같은 직선 위에 있습니다. 2차원 충돌은 x x x y y y 질점 : 회전을 포함하지 않습니다(각운동량 L = I ω L = I\omega L = I ω 고전 속도 : v ≪ c v \ll c v ≪ c γ m v \gamma mv γ m v 0.1 c 0.1c 0.1 c m v mv m v 보존의 전제는 외력 없음 : 충돌 분석은 충돌 시간이 아주 짧아 외력(마찰, 중력)의 충격량을 무시할 수 있다고 가정합니다.SI 단위 : kg, m/s, kg·m/s이며 엔진은 환산하지 않습니다. 역산의 분모가 비어 있으면 1로 대체합니다. 적용 범위와 한계 계산할 수 있음 p p p m m m v v v
근사만 가능 실제 충돌의 접촉 시간과 반발계수는 측정해야 하며, 시간에 따라 변하는 힘을 평균 힘으로 대체합니다. 계산할 수 없음 충돌 자체(보존식을 손으로 세워야 합니다, 단계 5 참고), 2차원 이상의 벡터, 각운동량, 질량이 변하는 계의 추력(F = u d m / d t F = u\,\mathrm dm/\mathrm dt F = u d m / d t 하지 않음 단위 환산, 충격량/힘/시간 계산(손으로 F = Δ p / Δ t F = \Delta p / \Delta t F = Δ p /Δ t 수치 m = 0 m = 0 m = 0 흔한 오해
방향의 부호를 잊음 : 정면 충돌하는 두 운동량은 하나는 양수, 하나는 음수로 더해야 합니다. 둘 다 양수로 넣으면 「서로 마주 보는」 상황을 「같은 방향」으로 계산하게 됩니다.운동량과 운동에너지를 뒤섞음 : 트럭과 자동차의 운동량이 같다고 운동에너지도 같지 않고, 총알의 운동량이 작다고 운동에너지도 작지 않습니다(예 2).충돌에서 운동에너지가 보존된다고 생각 : 완전탄성 충돌에서만 보존됩니다. 일상의 충돌에는 운동에너지 손실이 있습니다(예 3의 3 J).km/h를 m/s로 바꾸지 않음 : 운동량은 3.6배 차이가 납니다(운동에너지는 12.96배). 자세한 단위 논의는 뉴턴 제2법칙 을 보십시오.F = m a F = ma F = ma F = d p / d t F = \mathrm dp/\mathrm dt F = d p / d t 충격량과 힘을 혼동 : 충격량 N·s는 「힘 × 시간」이고, 에어백이 바꾸는 것은 힘이지 충격량이 아닙니다. 대표적인 활용 사례 교통 안전 충돌 전후 속도 추정(사고 재구성), 완충 구역과 에어백의 작용(Δ t \Delta t Δ t
스포츠 배팅, 킥, 복싱에서의 운동량 전달과 평균 충격력(접촉 시간과 함께), 뜀과 착지의 충격량, 사격과 투척에서 반동의 영향.
항공우주와 기계 로켓과 제트 추진의 반동 원리(분출 가스의 운동량 = 비행체가 얻는 운동량), 해머와 항타기, 기계 충격 하중 추정.
교육 운동량 보존의 도입, 탄성과 비탄성 충돌의 구분, 운동량과 운동에너지의 대조, 뉴턴 제2법칙의 원래 형태.
자주 묻는 질문 운동량이 음수라는 것은 무슨 뜻인가요? 물체가 정한 양의 방향과 반대 방향으로 움직인다는 뜻입니다. 운동량은 벡터이고 1차원에서는 부호로 방향을 나타냅니다.
이 계산기로 충돌을 계산하려면 어떻게 하나요? 물체마다 충돌 전 m v mv m v p p p m m m
운동량과 운동에너지 가운데 무엇이 「파괴력」을 결정하나요? 둘 다 관여하지만 역할이 다릅니다. 운동량은 멈추는 데 필요한 「힘 × 시간」을 결정하고(평균 충격력 결정), 운동에너지는 흡수해야 하는 에너지 양을 결정합니다(변형과 파괴 정도 결정). 원리 절에 대조표가 있습니다.
로켓은 진공에서 왜 가속할 수 있나요? 분출되는 가스가 뒤쪽 운동량을 가져가고 로켓은 같은 크기의 앞쪽 운동량을 얻습니다. 「공기를 밀어낼」 필요가 없습니다. 이것은 운동량 보존이며 F = m a F = ma F = ma
충격량의 단위가 운동량과 같은 이유는 무엇인가요? F Δ t F\Delta t F Δ t
빛에도 운동량이 있나요? 있습니다. p = E / c = h / λ p = E/c = h/\lambda p = E / c = h / λ p = m v p = mv p = m v
참고와 더 읽을거리
CalcX 엔진 소스 src/data/formulasScience.ts의 phys-momentum 정의(compute(known, solveFor) 세 방향 해법, 필드 단위 kg / m/s / kg·m/s); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Isaac Newton, Principia (1687), Definitions(Def. II 「운동의 양」)와 Axioms(Law II) , Motte 영역（访问日期：2026-09-09）.
Wikipedia, Momentum （访问日期：2026-09-09）—정의, 보존, 상대론적 확장.
Wikipedia, Impulse (physics) （访问日期：2026-09-09）—충격량-운동량 정리와 응용.
Wikipedia, Inelastic collision （访问日期：2026-09-09）—완전비탄성 충돌의 공식과 운동에너지 손실.
Wikipedia, Noether's theorem （访问日期：2026-09-09）—대칭성과 보존 법칙의 대응.
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics —운동량, 충격량의 양과 단위 정의.
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