등가속도 직선 운동 계산기 v=v₀+at: 나중 속도·가속도·시간

계산기 설명

등가속도 직선 운동 계산기는 $v = v_0 + at$ 을 풉니다. 처음 속도 $v_0$ , 가속도 $a$ , 시간 $t$ 를 알 때 나중 속도 $v$ 를 구하고, 네 양 중 셋만 알아도 나머지 하나를 역산합니다—제동해 멈추는 데 몇 초가 걸리는지, 8초 만에 100 km/h에 도달하려면 가속도가 얼마인지, 위로 던져 2초 만에 멈추는 공의 처음 속도는 얼마인지.

「등가속도」는 가속도가 일정하다는 뜻입니다. 자유 낙하( $a = g$ ), 자동차의 완만한 가감속, 열차의 역 진입, 연직 상방 운동 모두 이 운동으로 근사할 수 있습니다. 운동학에서 가장 기본이 되는 공식이며, 가속도의 정의식을 자리만 바꾼 것이고, 뒤에 나오는 모든 운동학 공식의 출발점입니다. 변위 공식 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ 은 등가속도 변위 계산기에, 가속도가 어디에서 오는지( $a = F/m$ )와 단위·벡터 약속은 뉴턴 제2법칙에 있습니다.

하지 않는 일: 변위나 거리를 계산하지 않고, 가속도가 시간에 따라 변하는 운동(공기 저항이 뚜렷한 낙하, 변속 출발)을 다루지 않으며, 1차원만 계산합니다—곡선 운동과 포사체는 수평·수직 방향을 나누어 따로 다루어야 합니다. 단위 환산도 하지 않습니다(km/h는 먼저 m/s로).

공식과 변수

v = v_0 + a\,t \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}

역산:

t = \frac{v - v_0}{a},\qquad a = \frac{v - v_0}{t},\qquad v_0 = v - a\,t

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$v_0$	처음 속도( $t = 0$ 일 때)	처음 속도 v₀ (m/s)	m/s	임의의 실수; 기본값 0. 음수 부호는 양의 방향과 반대를 뜻함
$a$	가속도(일정)	가속도 a (m/s²)	m/s²	임의의 실수; 기본값 9.8. 속도와 같은 방향이면 양수(가속), 반대면 음수(감속)
$t$	경과한 시간	시간 t (s)	s	$t \ge 0$ ; 기본값이 없어 열면 비어 있음
$v$	나중 속도( $t$ 일 때)	나중 속도 v (m/s)	m/s	출력; 역산 모드에서는 입력

단위 일관성: $\text{m/s}^2 \times \text{s} = \text{m/s}$ . 기본 가속도 9.8은 중력 가속도의 교과서 상용값입니다. 표준값은 $g_0 = 9.806\,65$ 이고, 값 선택에 대한 논의는 뉴턴 제2법칙을 보십시오.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 등가속도 직선 운동」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-uniform-accel)에 대응합니다. 열면 「처음 속도 v₀」= 0, 「가속도 a」= 9.8이 채워져 있고 「시간 t」는 비어 있습니다. 이때 「시간」과 「나중 속도」가 모두 「계산」 표시와 함께 0으로 표시됩니다—엔진이 빈 $t$ 를 0으로 처리해 $v = 0 + 9.8 \times 0 = 0$ 이 되기 때문이며, 이것은 결과가 아닙니다.
나중 속도 구하기「시간 t」에 초를 넣으면 나중 속도가 즉시 갱신됩니다. 감속 운동은 $a$ 에 음수를 넣습니다.
시간 역산「시간 t」를 비우고 「나중 속도 v」를 넣으면(정지까지는 0) 시간 필드가 「계산」으로 바뀌어 $(v - v_0)/a$ 를 보여 줍니다.
가속도 역산「가속도 a」를 비우고 $v_0$ , $v$ , $t$ 를 넣으면 가속도 필드가 $(v - v_0)/t$ 를 보여 줍니다.
처음 속도 역산「처음 속도 v₀」를 비우고 $a$ , $t$ , $v$ 를 넣으면 처음 속도 필드가 $v - at$ 를 보여 줍니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 유지하고 뒤쪽 0을 지웁니다. $a = 0$ 일 때 시간 역산은 $0/0$ 이 되어 필드가 비어 있습니다—등속 운동에서는 「언제 어떤 속도에 도달하는가」에 유일한 답이 없습니다.
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 LaTeX v = v_0 + at를 클립보드에 복사합니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 phys-uniform-accel의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거이며, 단위는 m/s, m/s², s입니다.

예 1: 자유 낙하 3초

입력: $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 3$ . $v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4$ . 화면 표시: 나중 속도 v 29.4—약 106 km/h입니다. 1초마다 속도가 9.8 m/s씩 늘어나는데, 이것이 「가속도 9.8 m/s²」의 의미입니다: 속도가 매초 얼마나 변하는가. 10층 건물(약 30 m)에서 떨어지면 대략 2.5초, 24 m/s가 됩니다.

예 2: 자동차가 8초에 100 km/h까지 가속한 뒤 제동

가속도 역산: $a$ 를 비우고 $v_0 = 0$ , $v = 27.77777778$ (100 km/h), $t = 8$ 을 넣습니다. $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222$ . 화면 표시: 가속도 a 3.47222222. 다시 넣어 검산하면( $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ , $t = 8$ ) 화면은 나중 속도 27.77777776을 보여 줍니다—끝자리 6은 8자리 가속도를 되돌려 넣어 생긴 반올림 꼬리이며 오류가 아닙니다.

제동 중간: $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 3$ : $v = 27.78 - 15 = 12.77777778$ . 화면 표시: 나중 속도 v 12.77777778(약 46 km/h).

정지까지 걸리는 시간 역산: $t$ 를 비우고 $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $v = 0$ 을 넣습니다. $t = (0 - 27.78)/(-5) = 5.55555556$ . 화면 표시: 시간 t 5.55555556. 음수 나누기 음수는 양수이므로 시간은 당연히 양수입니다. 이 동안 미끄러진 77.16 m는 변위 계산기로 계산합니다.

그림 1: v–t 그래프에서 등가속도 운동은 직선이고 기울기가 가속도이다. 왼쪽: 예 2의 자동차; 오른쪽: 예 3의 상방 운동 공—속도가 0을 지날 때도 가속도는 −9.8이며 직선은 꺾이지 않는다

예 3: 연직 상방 운동—속도가 0일 때 가속도는 0이 아니다

위쪽을 양으로 잡으면 $a = -9.8$ 입니다. 공을 던져 2초 후 최고점에 도달한다면( $v = 0$ ) 던질 때의 속도는 얼마일까요? $v_0$ 를 비우고 $v = 0$ , $a = -9.8$ , $t = 2$ 를 넣습니다. $v_0 = 0 - (-9.8)(2) = 19.6$ . 화면 표시: 처음 속도 v₀ 19.6.

다음으로 3초일 때: $v_0 = 19.6$ , $a = -9.8$ , $t = 3$ : $v = 19.6 - 29.4 = -9.8$ . 화면 표시: 나중 속도 v −9.8—음수 부호는 떨어지고 있다는 뜻입니다. 전 과정에서 가속도는 최고점 순간을 포함해 항상 $-9.8$ 이고, 속도만 양에서 음으로 바뀝니다. 그림 1 오른쪽의 직선은 영점을 연속적으로 통과하며 멈추지 않습니다.

예 4: 열차와 등속의 경계 경우

열차: 20 m/s로 달리는 열차가 0.5 m/s²로 1분 동안 가속합니다. $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $v = 20 + 30 = 50$ . 화면 표시: 나중 속도 v 50(180 km/h). 가속도가 작다고 속도 변화가 작은 것은 아닙니다—시간이 길면 똑같이 커집니다.

등속: $v_0 = 5$ , $a = 0$ 으로 「언제 $v = 5$ 에 도달하는가」를 역산하면 화면의 시간 필드는 비어 있습니다: $0/0$ 은 정의되지 않으며, 등속 운동에서는 모든 순간이 5 m/s입니다.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. 시간을 1, 2, 4, 5로 바꾸면 나중 속도가 9.8의 정수배로 늘어나는 것을 볼 수 있고, 가속도를 1.62(달)로 바꾸면 같은 3초에도 4.86 m/s에 그칩니다.

원리와 유도

이 공식은 가속도의 정의다

가속도는 속도의 변화율로 정의됩니다: $a = \Delta v / \Delta t$ . 가속도가 일정하면 $\Delta v = a\Delta t$ 이고, $t = 0$ 의 $v_0$ 에서 출발하면 $t$ 초 뒤 $v = v_0 + at$ 입니다. 「유도」가 필요한 것이 아니라 정의식을 옮긴 것입니다. 실제로 내용이 있는 주장은 「가속도가 일정하다」이며, 이것은 운동에 대한 가정이고 뉴턴 제2법칙이 보장합니다: 합력이 일정하면(예: 중력) 가속도도 일정합니다.

v–t 그래프: 직선과 기울기

속도를 시간의 함수로 그리면 등가속도 운동은 직선이고, 세로축 절편은 $v_0$ , 기울기는 $a$ 입니다. 그림 1 왼쪽 자동차 직선에서 두 점을 잡으면 $\Delta v / \Delta t = 13.89 / 4 = 3.47$ 로 역산한 가속도와 일치합니다—이것이 바로 기울기 계산기가 하는 일입니다. 기울기가 음수이면(그림 1 오른쪽) 감속 또는 반대 방향 가속이고, 직선이 가로축을 지나면 속도가 반대로 바뀝니다. 직선 아래 넓이는 변위인데, 그것은 다음 문서의 내용입니다.

부호 약속: 1차원 벡터

속도와 가속도는 벡터이고, 1차원에서는 부호로 방향을 나타냅니다. 먼저 양의 방향(보통 처음 속도 방향이나 「위쪽」)을 정한 뒤: $a$ 와 $v$ 가 같은 부호이면 → 속력 증가; 다른 부호이면 → 속력 감소. 예 3의 공은 올라갈 때 $v > 0$ , $a < 0$ 으로 감속하고, 최고점을 지나 $v < 0$ , $a < 0$ 으로 같은 부호가 되어 다시 가속하는데, 가속도는 처음부터 끝까지 변하지 않습니다. 「감속도」는 별도의 물리량이 아니라 음의 가속도일 뿐입니다.

갈릴레오와 자유 낙하

「무게와 상관없이 모든 물체가 같은 가속도로 떨어진다」는 갈릴레오가 1638년 《두 개의 새로운 과학》에서 얻은 결론입니다. 그는 경사면으로 중력을 「묽게」 해서 측정했고, 속도가 시간에 비례한다는 것(거리가 아니라)을 발견했습니다. $a = g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$ 는 지표면의 근삿값이며, 달에서는 1.62, 화성에서는 3.72입니다. 공기 저항이 뚜렷하면(깃털, 빗방울, 낙하산) 가속도가 속도에 따라 줄어들어 0이 되고(종단 속도), 더 이상 등가속도가 아닙니다.

다른 운동학 공식과의 관계

네 양 $v_0$ , $v$ , $a$ , $t$ 외에 변위 $s$ 가 있습니다. 다섯 양 사이에는 하나씩 빠진 네 개의 공식이 있습니다: $v = v_0 + at$ ( $s$ 없음), $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ ( $v$ 없음), $v^2 = v_0^2 + 2as$ ( $t$ 없음), $s = \tfrac12(v_0 + v)t$ ( $a$ 없음). 이 계산기는 첫 번째이고, 두 번째는 변위 계산기에 있으며, 세 번째는 앞의 둘에서 $t$ 를 소거해 얻는데 운동에너지 공식 $\tfrac12 mv^2$ 의 근원입니다.

가정

가속도 일정: 전체 시간 구간에서 $a$ 가 변하지 않습니다. 실제 차량의 가속도는 기어와 속도에 따라 변하며, 계산값은 평균입니다.
직선 운동, 1차원: 속도와 가속도가 같은 직선 위에 있고 방향은 부호로 나타냅니다.
저항 무시: 자유 낙하 예에는 공기 저항이 없습니다.
SI 단위: m/s, m/s², s이며 환산하지 않습니다.
화면 기준: 비어 있는 필드는 엔진에서 0으로 참여하고(역산 시 분모는 1로 대체), 따라서 패널을 열면 나중 속도가 0으로 표시됩니다.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: $v_0$ , $a$ , $t$ , $v$ 중 셋을 알아 나머지를 구하기, 음수 포함.
근사만 가능: 가속도가 변하는 운동은 구간별 근사만 가능하고, $g$ 를 9.8로 두면 값의 선택에 약 0.1% 차이가 있습니다.
계산할 수 없음: 변위(변위 계산기 사용), $v^2 = v_0^2 + 2as$ 처럼 시간이 없는 관계(직접 계산), 2차원 포사체(방향별로 한 번씩), 가속도가 시간에 따라 변하는 운동.
하지 않음: 단위 환산; $a = 0$ 일 때 시간 역산은 해가 없음.
수치: 8자리 값을 되돌려 넣으면 끝자리에 반올림 꼬리가 생깁니다(예 2의 27.77777776).

흔한 오해

km/h를 m/s로 착각: 역산한 「가속도」의 단위는 (km/h)/s이고 값이 3.6배 큽니다(예 4의 안내).
최고점에서 가속도가 0이라고 생각: 속도가 0인 순간에도 가속도는 $-9.8$ 입니다(예 3).
감속에서 부호를 빠뜨림: 제동의 $a$ 는 음수입니다. 양수로 넣으면 점점 빨라집니다.
$v$ 를 속력으로 착각: $v$ 에는 부호가 있습니다. 예 3의 $-9.8$ 은 아래 방향 9.8 m/s이지 「음의 속력」이 아닙니다.
시간을 분으로 입력: 60 s이지 1이 아닙니다. 예 4의 열차에 $t = 1$ 을 넣으면 20.5만 나옵니다.
평균 속도를 나중 속도로 착각: 0에서 27.78까지 등가속하면 평균 속도는 13.89이고, 나중 속도는 27.78입니다.

대표적인 활용 사례

교육

가속도 정의를 직관적으로 이해하기; v–t 그래프 기울기; 부호 약속과 연직 상방 운동; 갈릴레오의 자유 낙하.

교통

0–100 km/h 가속 시간과 평균 가속도 상호 계산; 주어진 감속도의 정지 시간; 열차가 목표 속도에 도달하는 데 걸리는 시간.

스포츠와 안전

낙하산 전개 초기(종단 속도 전) 속도 증가; 출발 가속도 추정; 낙하 속도 추정(변위 페이지와 함께 높이 계산).

공학

엘리베이터, 컨베이어, 공작기계 이송의 가감속 시간 설계; 허용 가속도가 주어졌을 때 가속 구간 길이.

자주 묻는 질문

패널을 열면 나중 속도가 왜 0인가요?

시간을 아직 넣지 않아 엔진이 $t$ 를 0으로 처리하기 때문입니다. 시간을 넣으면 정상으로 돌아옵니다.

변위나 거리는 어떻게 계산하나요?

등가속도 변위 계산기를 쓰거나( $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ ), 이 페이지에서 $t$ 를 먼저 구한 뒤 평균 속도 $\tfrac12(v_0 + v)$ 에 $t$ 를 곱합니다.

가속도가 음수면 감속인가요?

속도와 방향이 반대일 때만 감속입니다. 아래쪽을 양으로 잡으면 자유 낙하 가속도는 양수이고, 위쪽을 양으로 잡으면 음수이지만 물체가 떨어질 때 속력은 오히려 커집니다.

연직 상방 운동에서 올라가는 시간과 내려오는 시간이 같은 이유는 무엇인가요?

가속도가 일정하고 저항이 없으면 $v$ 는 $t$ 에 대한 직선이라, $v_0$ 에서 0으로 줄어드는 시간과 0에서 $-v_0$ 으로 줄어드는 시간이 같습니다(둘 다 $v_0/g$ ).

공기 저항이 크면 쓸 수 없나요?

쓸 수 없습니다. 저항이 속도와 함께 커지면 가속도가 일정하지 않고 결국 종단 속도에 도달합니다. 빗방울, 낙하산, 깃털은 모두 등가속도가 아닙니다.

g에 9.8을 넣나요, 9.81을 넣나요?

문제나 규정이 주는 값을 넣습니다. 둘은 0.1% 차이입니다. 값 선택에 대한 논의는 뉴턴 제2법칙을 보십시오.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulasScience.ts의 phys-uniform-accel 정의(compute(known, solveFor)가 v / t / a / v0 네 방향으로 해법); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）— 다섯 양과 네 공식의 전체 표.
Wikipedia, Acceleration（访问日期：2026-09-09）— 가속도의 정의, 단위와 벡터 성질.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, Crew & de Salvio 영역（访问日期：2026-09-09）— 등가속 운동과 자유 낙하의 원전.
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity（访问日期：2026-09-09）— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ .
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time — 속도와 가속도의 양과 단위 정의.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09