운동에너지 계산기 Eₖ = ½mv²: 일과 에너지

운동에너지 계산기는 Ek = \tfrac12 m v^2을 풉니다. 질량 m(kg)과 속력 v(m/s)를 입력하면 물체가 운동하기 때문에 가진 에너지 Ek(J)를 얻고, 운동에너지와 질량으로 속력을 역산하거나 운동에너지와 속력으로 질량을 역산할 수도 있습니다. 이 계산기가 답하는 것은 「운동하는 물체가 얼마나 일을 할 수 있는가」입니다. 멈추려면 얼마의 에너지를 흡수해야 하는지, 부딪히면 얼마나 큰 파괴를 낼 수 있는지, 이 속력까지 가속하려면 얼마의 에너지를 넣어야 하는지를 알려 줍니다.

운동에너지 계산기 Eₖ = ½mv²: 일과 에너지

계산기 설명

운동에너지 계산기는 $E_k = \tfrac12 m v^2$ 을 풉니다. 질량 $m$ (kg)과 속력 $v$ (m/s)를 입력하면 물체가 운동하기 때문에 가진 에너지 $E_k$ (J)를 얻고, 운동에너지와 질량으로 속력을 역산하거나 운동에너지와 속력으로 질량을 역산할 수도 있습니다. 이 계산기가 답하는 것은 「운동하는 물체가 얼마나 일을 할 수 있는가」입니다. 멈추려면 얼마의 에너지를 흡수해야 하는지, 부딪히면 얼마나 큰 파괴를 낼 수 있는지, 이 속력까지 가속하려면 얼마의 에너지를 넣어야 하는지를 알려 줍니다.

달리는 자동차, 날아가는 총알, 달리는 사람, 떨어지는 빗방울, 파이프 속 물의 흐름이 모두 운동에너지를 지닙니다. 이 페이지는 이 사이트의 물리 계산기에서 「일과 에너지」의 기준점 역할도 합니다. 일-운동에너지 정리, 에너지의 단위와 환산(J, kJ, kW·h, kcal, eV), 에너지가 스칼라라는 의미, 고전 공식이 유효한 경계를 여기에서 펼칩니다. 중력 위치에너지와 운동량 두 문서는 요점만 정리하고 이 페이지로 연결합니다. SI 단위계와 차원, 벡터와 스칼라의 일반적인 논의는 뉴턴 제2법칙을 보십시오.

하지 않는 일도 있습니다. 회전 운동에너지( $\tfrac12 I\omega^2$ , 바퀴와 플라이휠)를 계산하지 않고, 상대론적 운동에너지(광속에 가까울 때)도 다루지 않으며, 단위 환산도 하지 않습니다(km/h는 먼저 m/s로, g은 먼저 kg으로 바꾸어야 합니다). 충돌에서 에너지가 어떻게 배분되는지도 다루지 않습니다. 그것은 운동량 보존의 영역입니다.

공식과 변수

E_k = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2

역산:

v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}},\qquad m = \frac{2E_k}{v^2}

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$m$	질량	질량 m (kg)	kg	$m > 0$ ; 기본값 1
$v$	속도(속력)	속도 v (m/s)	m/s	임의의 실수; 기본값 10. 제곱하면 부호가 사라져 $-3$ 과 $3$ 이 같은 운동에너지를 줌
$E_k$	운동에너지	운동에너지 Eₖ (J)	J = kg·m²/s² = N·m	출력, 항상 $\ge 0$ ; 역산 모드에서는 입력이고, 음수이면 속력 필드가 비어 있음

단위 일관성: $\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg·m}^2/\text{s}^2 = \text{N·m} = \text{J}$ . 자주 쓰는 환산(이 계산기는 하지 않으므로 직접 계산해야 합니다):

단위	J로 환산	설명
1 kJ	1 000	자동차, 인체 운동의 흔한 규모
1 kW·h	3 600 000(정확)	전력계 단위, 「1킬로와트시」
1 cal	4.184(열화학 칼로리, 약속값)	1 kcal = 4 184 J, 식품 라벨의 「칼로리」는 kcal
1 eV	1.602 176 634 × 10⁻¹⁹(정확, 2019년 SI 개정 이후)	원자, 입자 규모
1 erg	10⁻⁷	CGS 단위, g·cm²/s²

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 운동에너지」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-kinetic)에 대응합니다. 열면 「질량 m」= 1, 「속도 v」= 10이 채워져 있고 「운동에너지 Eₖ」가 「계산」 표시와 함께 50을 보여 줍니다.
운동에너지 구하기질량과 속력을 고치면 됩니다. 속력은 먼저 m/s로(km/h ÷ 3.6), 질량은 먼저 kg으로 바꾸십시오.
속력 역산「속도 v」를 비우고 「운동에너지 Eₖ」와 「질량 m」을 채우면 속력 필드가 「계산」으로 바뀌어 $\sqrt{2E_k/m}$ (양의 근)을 보여 줍니다.
질량 역산「질량 m」을 비우고 「운동에너지 Eₖ」와 「속도 v」를 채우면 질량 필드에 $2E_k/v^2$ 이 표시됩니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 속력을 역산할 때 운동에너지에 음수를 넣으면 속력 필드가 비어 있습니다(음수의 실수 제곱근이 없기 때문).
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 LaTeX E_k = \tfrac{1}{2} m v^2를 클립보드에 복사합니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 phys-kinetic의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거이며, 단위는 kg, m/s, J입니다.

예 1: 기본 입력, 1 kg이 10 m/s로 운동

입력: $m = 1$ , $v = 10$ . $E_k = \tfrac12 \times 1 \times 10^2 = 50$ . 화면 표시: 운동에너지 Eₖ 50.

$m = 2$ , $v = 3$ 을 입력하면 $E_k = \tfrac12 \times 2 \times 9 = 9$ 로 9가 표시됩니다. $v = -3$ 으로 바꾸어(반대 방향으로 운동)도 화면은 여전히 9입니다. 운동에너지는 스칼라이고 방향이 아니라 속력에만 달려 있기 때문입니다.

예 2: 자동차가 100 km/h에서 멈출 때 흡수해야 하는 에너지

1500 kg의 자동차가 100 km/h로 달립니다.

단위 환산: $v = 100 / 3.6 = 27.77777778$ m/s.
$m = 1500$ , $v = 27.77777778$ 을 입력: $E_k = \tfrac12 \times 1500 \times 27.77777778^2 = 578703.7037037$ .

화면 표시: 운동에너지 Eₖ 578703.7037037, 약 579 kJ, 즉 0.161 kW·h 또는 138 kcal입니다. 브레이크 패드는 이만큼의 에너지를 열로 바꾸어야 합니다. 50 km/h(13.88888889 m/s)로 달릴 때 화면은 144675.92592593을 보여 줍니다. 속력이 절반이면 운동에너지는 4분의 1입니다.

단위를 바꾸는 것을 잊고 $v = 100$ 을 그대로 넣으면 화면은 7500000을 줍니다. $3.6^2 = 12.96$ 배나 큰 값입니다. 속력은 공식에서 제곱되고, 단위 실수도 제곱으로 증폭됩니다. 이 페이지에서 가장 흔한 실수입니다.

그림 1: 예 2의 자동차. 운동에너지는 속력의 제곱에 따라 자란다. 50 → 100 km/h는 4배이고, 100 → 120 km/h는 20%만 빨라졌는데 운동에너지는 44% 늘어난다

예 3: 총알과 달리기 선수 — 누구의 운동에너지가 큰가

총알: $m = 0.008$ kg(8 g), $v = 400$ m/s. $E_k = \tfrac12 \times 0.008 \times 160000 = 640$ . 화면 표시: 640.

달리기 선수: $m = 70$ kg, $v = 5$ m/s. $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 25 = 875$ . 화면 표시: 875.

달리기 선수의 운동에너지가 총알보다 37% 큽니다. 그런데 두 사람의 파괴력은 하늘과 땅 차이입니다. 총알은 640 J을 몇 제곱밀리미터의 단면에 집중시켜 수십 마이크로초 안에 방출합니다. 운동에너지는 「총량」을 알려 주고, 파괴 효과는 면적, 시간과 재료에도 달려 있습니다. 운동에너지와 운동량, 충격량을 따로 논의해야 하는 이유입니다. 참고로 58 g 테니스공을 50 m/s로 서브하면 운동에너지는 72.5 J입니다.

예 4: 속력과 질량 역산

속력 역산: 80 kg인 사람이 1000 J의 운동에너지를 가지려면 얼마나 빨라야 할까요? $v$ 를 비우고 $E_k = 1000$ , $m = 80$ 을 넣으면 $v = \sqrt{2 \times 1000 / 80} = \sqrt{25} = 5$ . 화면 표시: 속도 v 5.

예 2를 뒤집어 $E_k = 578703.7037037$ , $m = 1500$ 을 넣으면 화면에 속도 v 27.77777778이 표시되어 100 km/h로 돌아옵니다. 이어서 「1 kW·h(3 600 000 J)로 1500 kg 자동차를 얼마나 빠르게 가속할 수 있는가」를 물으면 화면은 69.2820323 m/s, 약 249 km/h를 보여 줍니다. 손실을 전혀 고려하지 않은 이론값이며, 1 kW·h가 사실 꽤 큰 에너지라는 것을 보여 줍니다.

질량 역산: 운동에너지 9 J, 속력 3 m/s에서 $m$ 을 비우면 $m = 2 \times 9 / 9 = 2$ . 화면 표시: 질량 m 2.

그림 1의 살아 있는 버전: 질량 슬라이더를 끌면 포물선 전체가 확대·축소된다. 가로축 눈금 1.3889 m/s는 5 km/h에 해당한다

원리와 유도

일-운동에너지 정리: ½mv²는 어디에서 오는가

정지한 물체에 일정한 합력 $F$ 를 가해 힘의 방향으로 거리 $s$ 만큼 움직이면 힘이 한 일은 $W = Fs$ 입니다. 뉴턴 제2법칙 $F = ma$ 와 등가속도 운동 $v^2 = 2as$ (초속이 0)에서 다음을 얻습니다.

W = Fs = ma \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac12 m v^2

합력이 한 일이 전부 물체의 「운동 에너지」로 바뀌었고, 이 양을 운동에너지로 정의합니다. 초속이 0이 아니어도 같은 유도로 $W_{\text{合}} = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = \Delta E_k$ 를 얻습니다. 합력이 한 일은 운동에너지의 변화와 같다는 것이 일-운동에너지 정리입니다. 이는 $F = ma$ 를 경로로 적분한 결과이고, 변하는 힘에도 성립합니다( $W = \int F\,\mathrm ds$ ).

제동이 바로 일-운동에너지 정리의 응용입니다. 예 2의 578.7 kJ 운동에너지는 제동력이 음의 일을 해서 소모해야 합니다. 제동력이 7500 N으로 일정하면 제동거리는 $s = E_k / F = 578703.7 / 7500 = 77.16$ m이고, 50 km/h에서는 19.29 m만 필요합니다. 속력이 절반이면 제동거리는 4분의 1입니다. 뉴턴 제2법칙 페이지의 예 3에서 $a = -5\ \text{m/s}^2$ 로 계산한 77 m와 정확히 일치하며, 같은 사실을 두 방법으로 구한 것입니다.

왜 제곱이고 왜 ½인가

제곱: $2v$ 까지 가속하는 데는 $v$ 까지 가속할 때보다 「한 번 더」 이상이 듭니다. 같은 힘으로 $v$ 에서 $2v$ 까지 가속하는 시간은 0에서 $v$ 까지와 같지만, 그동안 물체가 더 빨리 달려 이동 거리가 앞 구간의 3배이고 힘이 한 일도 3배입니다. 그래서 $E_k(2v) = 4E_k(v)$ 입니다. 그림 1의 포물선과 회색 직선의 벌어짐이 이 원리입니다.

½: 라이프니츠는 1686년에 「활력」(vis viva) $mv^2$ 을 보존량으로 제시했습니다. 1829년 코리올리가 일을 힘 곱하기 거리로 정의한 뒤, 「일 = 에너지 변화」에 계수가 붙지 않게 하려고 에너지를 $\tfrac12 mv^2$ 으로 잡았습니다. $\tfrac12$ 은 $v^2 = 2as$ 에 있는 2, 즉 「평균 속도가 나중 속도의 절반」에서 왔습니다.

운동에너지는 스칼라

속도는 벡터이지만 $v^2 = \vec v \cdot \vec v$ 는 스칼라이고 운동에너지에는 방향이 없습니다. 동쪽 3 m/s와 서쪽 3 m/s의 운동에너지는 같습니다(예 1). 이는 운동량 $\vec p = m\vec v$ 와 뚜렷이 대비됩니다. 똑같은 두 공이 정면으로 충돌하면 총운동량은 0이지만 총운동에너지는 0이 아닙니다. 2차원, 3차원 운동에서는 속력만 대입하면 되고 성분으로 나눌 필요가 없습니다.

에너지의 단위와 규모

줄은 유도 단위입니다: $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$ , 즉 1 N의 힘으로 1 m를 밀 때 한 일입니다. kg, m/s를 공식에 넣으면 자연히 J이 나옵니다. 다른 단위계는 환산 계수가 붙거나 다른 단위가 나옵니다(g과 cm/s는 erg). 규모 감각: 사과 하나가 1 m 떨어질 때 약 1 J, 사람이 걸을 때 50–100 J, 자동차가 고속으로 달릴 때 약 $10^5$ – $10^6$ J(예 2), 1 kW·h가 $3.6 \times 10^6$ J, 하루 음식이 약 $8 \times 10^6$ J(2000 kcal)입니다. 일률은 에너지의 변화율이며 $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$ 이므로 kW·h는 「일률 × 시간」, 즉 1 kW를 1시간 쓰는 것입니다.

고전 공식의 경계

$\tfrac12 mv^2$ 은 상대론적 운동에너지 $(\gamma - 1)mc^2$ 을 $v \ll c$ 일 때 근사한 것이고, 상대오차는 약 $\tfrac34 (v/c)^2$ 입니다. $v = 0.1c$ 이면 약 0.75%, $v = 0.5c$ 이면 이미 15%를 넘습니다. 지구상의 모든 거시 운동(가장 빠른 우주선도 약 $10^{-4}c$ )은 고전 범위 안에 있고, 전자와 양성자가 가속기 안에 있을 때는 반드시 상대론 공식을 써야 합니다. 또 하나의 경계는 회전입니다. 구르는 바퀴는 병진 운동에너지 외에 $\tfrac12 I\omega^2$ 도 가지며, 이 계산기는 이 항을 포함하지 않습니다.

가정

질점의 병진 운동: 물체 전체가 같은 속도로 운동하며 회전 운동에너지와 내부 운동을 포함하지 않습니다.
속력 $v \ll c$ : 고전역학의 범위입니다.
$m$ , $v$ 는 SI 단위: kg과 m/s이며 엔진은 환산하지 않습니다.
속력은 특정 기준계에 상대적: 운동에너지는 기준계에 따라 다릅니다. 자동차 안의 승객은 자동차에 대해 운동에너지가 0이고 지면에 대해서는 0이 아닙니다.
역산은 양의 근: $v = \sqrt{2E_k/m}$ 이며, 질량이나 속력을 역산할 때 분모가 비어 있으면 1로 대체합니다.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: $E_k$ , $m$ , $v$ 가운데 둘을 알고 나머지 하나 구하기.
근사만 가능: 실제 제동과 충돌에서 에너지가 가는 곳(열, 변형, 소리)은 공식 밖입니다. 공기 저항 때문에 가속에 드는 에너지는 $\tfrac12 mv^2$ 보다 큽니다.
계산할 수 없음: 회전 운동에너지, 상대론적 운동에너지, 여러 물체 계의 총운동에너지(각각 계산해 더하면 됩니다), 충돌 후 속도 배분(운동량 보존 사용), 위치에너지와 역학적 에너지 보존(중력 위치에너지 페이지와 함께 손으로 계산).
하지 않음: 단위 환산(km/h, g, kW·h, kcal); 음의 운동에너지 역산은 출력이 없습니다.
수치: 아주 크거나 작은 값은 과학적 표기법으로 표시합니다(예: 전자의 운동에너지 $\sim 10^{-19}$ J).

흔한 오해

km/h를 m/s로 바꾸지 않음: 오차가 제곱으로 증폭되어 12.96배가 됩니다(예 2의 7 500 000 대 578 704).
½을 빼먹음: $mv^2$ 은 운동에너지의 두 배입니다. 역사적으로 「활력」은 그렇게 적혔지만 오늘날의 줄은 $\tfrac12 mv^2$ 으로 정의됩니다.
속력이 두 배면 운동에너지도 두 배라고 생각: 네 배입니다. 제동거리와 충돌 에너지가 모두 제곱으로 가는 것이 속도 제한의 물리적 근거입니다.
운동에너지에 방향을 붙임: 운동에너지는 스칼라라 반대 방향 운동도 같고, 「운동에너지가 음수」라는 말은 의미가 없습니다.
운동에너지와 운동량을 뒤섞음: 운동량 $mv$ 은 벡터이고 $v$ 에 선형이며, 운동에너지 $\tfrac12 mv^2$ 은 스칼라이고 $v$ 의 제곱에 비례합니다. 예 3의 총알은 운동에너지가 달리기 선수보다 작고 운동량(3.2 대 350 kg·m/s)은 훨씬 더 작습니다.
칼로리와 킬로칼로리: 식품 라벨의 「칼로리」는 cal이 아니라 kcal(4184 J)입니다.

대표적인 활용 사례

교통 안전

속도별 운동에너지와 제동거리, 「속도 20% 증가, 운동에너지 44% 증가」 설명, 충돌 시험에서 충격 흡수 구조가 흡수해야 하는 에너지.

스포츠와 장비

공과 도구의 임팩트 에너지(테니스공, 야구공, 창), 달리기와 자전거의 속도별 운동에너지, 헬스 기구의 에너지 출력 추정.

기계와 에너지

플라이휠 에너지 저장(병진 부분), 물과 바람의 운동에너지( $\tfrac12 \rho A v^3$ 일률의 근원), 해머와 항타기의 충격 에너지.

교육

일-운동에너지 정리의 도입, 제곱 법칙의 직관, J, kW·h, kcal 환산, 스칼라와 벡터의 대비(운동량 페이지와 함께).

자주 묻는 질문

속도가 음수인데 운동에너지가 왜 양수인가요?

공식에서 속도가 제곱되고 $(-3)^2 = 9$ 이기 때문입니다. 운동에너지는 속력에만 의존하는 스칼라입니다.

속력을 역산했더니 양수가 나오는데, 물체가 음의 방향으로 운동하면 어떻게 하나요?

부호를 직접 붙이십시오. 엔진은 산술 제곱근만 돌려줍니다.

운동에너지와 운동량은 어떻게 다른가요?

운동량 $p = mv$ 은 벡터이고 「멈추게 하려면 얼마나 큰 충격량이 필요한가」를 설명합니다. 운동에너지 $\tfrac12 mv^2$ 은 스칼라이고 「멈추게 하려면 얼마나 많은 일을 해야 하는가」를 설명합니다. 둘의 관계는 $E_k = p^2 / (2m)$ 입니다. 예 2의 자동차 운동량은 41666.67 kg·m/s이고 $41666.67^2 / 3000 = 578703.7$ J입니다.

제동거리는 어떻게 계산하나요?

$s = E_k / F$ 입니다(제동력이 일정할 때). 예 2: 578703.7 J ÷ 7500 N = 77.16 m.

회전하는 물체의 운동에너지는 어떻게 계산하나요?

병진 $\tfrac12 mv^2$ 에 회전 $\tfrac12 I\omega^2$ 을 더합니다. 균질한 속이 찬 원기둥이 구를 때 회전 부분은 병진의 절반이고 총운동에너지는 $\tfrac34 mv^2$ 입니다. 이 계산기는 병진 부분만 계산합니다.

어느 정도 속도부터 상대론 공식이 필요한가요?

상대오차는 약 $\tfrac34(v/c)^2$ 입니다. 1% 이내를 요구하면 $v < 0.115c \approx 3.5 \times 10^7$ m/s입니다. 거시 물체는 결코 도달하지 못하고, 입자물리에서는 반드시 필요합니다.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulasScience.ts의 phys-kinetic 정의(compute(known, solveFor) 세 방향 해법, 속력 역산은 Math.sqrt 양의 근); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）—줄의 정의, eV와 kW·h 등 비SI 단위의 환산표.
NIST, CODATA 2018: electron volt（访问日期：2026-09-09）— $1\ \text{eV} = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}$ J(정확).
Wikipedia, Kinetic energy（访问日期：2026-09-09）—고전·상대론적 운동에너지, 회전 운동에너지, 운동량과의 관계.
Wikipedia, Work (physics) — Work–energy principle（访问日期：2026-09-09）—일-운동에너지 정리의 유도.
Wikipedia, Vis viva（访问日期：2026-09-09）—라이프니츠의 $mv^2$ 과 $\tfrac12$ 계수의 역사.
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics—일, 에너지, 일률의 양과 단위 정의.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019(줄의 정의, eV와 kW·h의 환산; 访问日期：2026-09-09) (资料日期: 2026-09-09)
NIST, CODATA 2018 Recommended Values: electron volt（访问日期：2026-09-09） (资料日期: 2026-09-09)
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Wikipedia: Vis viva(라이프니츠의 「활력」 mv²와 ½의 유래; 访问日期：2026-09-09) (资料日期: 2026-09-09)
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