뉴턴 제2법칙 계산기 F = ma: 힘·질량·가속도와 SI 단위

뉴턴 제2법칙 계산기는 F = ma를 풉니다: 질량 m(kg)과 가속도 a(m/s²)를 입력하면 알짜힘 F(N)를 얻고, 힘과 가속도로 질량을, 힘과 질량으로 가속도를 역산할 수도 있습니다. 이 계산기가 답하는 것은 역학에서 가장 기본적인 질문입니다 — 이만큼 무거운 것을 이런 가속도로 움직이려면 얼마나 큰 알짜힘이 필요한가; 반대로 알짜힘과 질량을 알면 물체가 어떻게 가속하는지 알 수 있습니다.

뉴턴 제2법칙 계산기 F = ma: 힘·질량·가속도와 SI 단위

계산기 설명

뉴턴 제2법칙 계산기는 $F = ma$ 를 풉니다: 질량 $m$ (kg)과 가속도 $a$ (m/s²)를 입력하면 알짜힘 $F$ (N)를 얻고, 힘과 가속도로 질량을, 힘과 질량으로 가속도를 역산할 수도 있습니다. 이 계산기가 답하는 것은 역학에서 가장 기본적인 질문입니다 — 이만큼 무거운 것을 이런 가속도로 움직이려면 얼마나 큰 알짜힘이 필요한가; 반대로 알짜힘과 질량을 알면 물체가 어떻게 가속하는지 알 수 있습니다.

쇼핑카트 밀기, 자동차의 출발과 제동, 엘리베이터가 출발할 때의 무거워지는 느낌, 로켓 발사, 몸무게 재기 — 모두 $F = ma$ 입니다. 이 페이지는 이 사이트 물리 계산기들의 "단위 총강"이기도 합니다: 뉴턴(N)이라는 단위가 바로 이것으로 정의되고, $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$ 입니다; 운동 에너지, 운동량, 위치 에너지, 등가속도 운동 문서에서 쓰는 SI 단위, 차원 검사, 벡터와 스칼라, $g$ 의 값이 모두 여기서 펼쳐지고, 나머지 문서들은 요약만 하고 여기로 연결합니다.

하지 않는 일: 힘의 합성을 하지 않습니다 — $F$ 는 알짜힘(모든 힘의 벡터합)이므로 마찰, 수직항력, 장력은 먼저 직접 합성해야 합니다; 2차원 / 3차원 벡터 분해를 다루지 않고 1차원 부호 있는 양만 계산합니다; 상대성 이론(속도에 따른 질량 변화)과 질량 변화 계(로켓의 분사 과정은 운동량 형식이 필요)는 다루지 않습니다.

공식과 변수

\vec F_{\text{알짜}} = m\,\vec a \qquad\text{(1차원: }F = ma\text{, }F\text{와 }a\text{는 같은 부호, 같은 방향)}

역산:

m = \frac{F}{a},\qquad a = \frac{F}{m}

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$m$	질량(관성의 척도)	질량 m (kg)	kg	$m > 0$ ; 기본값 1. g은 1000으로 나누고, 톤은 1000을 곱함
$a$	가속도(속도의 변화율)	가속도 a (m/s²)	m/s²	임의의 실수; 기본값 9.8(자유 낙하의 근삿값). 초당 km/h는 먼저 m/s²로 환산
$F$	알짜힘(합력)	힘 F (N)	N = kg·m/s²	출력; 역산 모드에서는 입력. 부호가 방향을 뜻함: 정한 양의 방향과 같으면 양수

단위 일관성: $\text{kg} \times \text{m/s}^2 = \text{kg·m/s}^2 = \text{N}$ . 질량을 g, 가속도를 cm/s²로 쓰면 다인(dyn, $1\ \text{dyn} = 10^{-5}\ \text{N}$ )이 되고, 질량을 lb, 가속도를 ft/s²로 쓰면 파운달(pdl)이 됩니다. 이 계산기는 SI 기준으로 N만 표시하며 환산은 하지 않습니다.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 "수학 도구 → 공식 → 뉴턴 제2법칙"에 해당합니다(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-newton2). 열면 "질량 m" = 1, "가속도 a" = 9.8이 이미 채워져 있고, "힘 F"는 "계산" 표시와 함께 9.8을 보여 줍니다.
알짜힘 구하기질량과 가속도를 바꾸면 힘이 실시간으로 갱신됩니다. 질량은 kg으로, 가속도는 m/s²로 맞춰 넣습니다(1 km/h = 1/3.6 m/s).
질량 역산"질량 m"을 비우고 "힘 F"와 "가속도 a"를 입력하면 질량 필드가 "계산"으로 바뀌며 $F/a$ 를 표시합니다.
가속도 역산"가속도 a"를 비우고 "힘 F"와 "질량 m"을 입력하면 가속도 필드가 $F/m$ 을 표시합니다. 제동이나 감속에서는 힘을 음수로 넣으면 가속도도 음수가 됩니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 남기고 끝의 0은 지웁니다. $a = 0$ 일 때 질량 역산은 ∞(0으로 나눔)를 표시하는데, 이는 "가속도가 0이면 어떤 질량이든 될 수 있고 힘은 0이어야 한다"는 알림입니다.
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 LaTeX F = ma를 클립보드에 복사합니다.

예제

네 가지 예제는 모두 phys-newton2 엔진의 compute로 재계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 끝의 0 제거, 단위는 kg, m/s², N입니다.

예제 1: 기본 입력과 그림 1의 2 kg 나무토막

입력: $m = 1$ , $a = 9.8$ . $F = 1 \times 9.8 = 9.8$ . 화면 표시: 힘 F 9.8 — 1 kg의 물체를 자유 낙하 가속도로 움직이려면 9.8 N이 필요하며, 이것은 1 kg 물체가 지표 근처에서 받는 중력입니다. 이것이 바로 "1 kg은 대략 10 N의 무게"라는 암기 문구의 근거입니다.

입력: $m = 2$ , $a = 3$ . $F = 2 \times 3 = 6$ . 화면 표시: 힘 F 6. 반대로 $a$ 를 비우고 $F = 6$ , $m = 2$ 를 입력하면 가속도 a 3이 표시됩니다.

그림 1: 예제 1의 자유물체도. 수직 방향의 두 힘은 상쇄되고 수평 방향에는 6 N만 있으므로 알짜힘은 6 N, a = 3 m/s². 계산기에 입력하는 F는 언제나 이 알짜힘

예제 2: 체중 — g를 9.8, 9.81, 9.80665 중 무엇으로 잡을까

70 kg인 사람이 받는 중력 $G = mg$ 이며, $g$ 를 가속도로 넣습니다:

입력 $a$	의미	화면 표시 F
9.80665	표준 중력 가속도 $g_0$ (정확한 정의값)	686.4655
9.81	대학 교재 대부분	686.7
9.8	중·고등 교재 대부분	686
1.62	달 표면	113.4

세 가지 지구 값을 쓰면 차이가 0.1%도 안 되어 체중계 자체의 오차보다 작습니다; 그러나 시험이나 공학 문서에서는 문제 / 규격이 지정한 값을 써야 그렇지 않으면 끝자리가 맞지 않습니다. 실제 $g$ 는 장소에 따라 변합니다: 적도 해수면에서 약 9.780, 극지방에서 약 9.832이며, 같은 사람의 중력이 두 곳에서 684.6 N과 688.2 N — 0.5% 차이로, 값 버전 사이의 차이보다 큽니다.

예제 3: 자동차가 8초 만에 100 km/h — 가장 흔한 단위 함정

1500 kg의 자동차가 정지 상태에서 8 s 만에 100 km/h까지 가속할 때 필요한 평균 알짜힘은 얼마일까요?

먼저 단위 환산: $100\ \text{km/h} = 100 \times 1000 / 3600 = 27.77777778\ \text{m/s}$ .
가속도 $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222\ \text{m/s}^2$ .
$m = 1500$ , $a = 3.47222222$ 를 입력: $F = 1500 \times 3.47222222 = 5208.33333333$ .

화면 표시: 힘 F 5208.33333333, 약 5.2 kN. 단위 환산을 잊고 $100 / 8 = 12.5$ 를 가속도로 쓰면 화면은 18750을 내놓습니다 — 3.6배 큽니다. 이것은 "알짜힘"이며, 엔진이 타이어를 통해 실제로 내는 추진력에는 공기 저항과 구름 저항이 더해져야 합니다.

제동은 반대입니다: 같은 차가 $-7500$ N의 알짜힘으로 제동하면( $a$ 를 비우고 $F = -7500$ , $m = 1500$ 입력), 화면 표시 가속도 a −5, 음수 부호는 운동 방향과 반대라는 뜻입니다; 27.78 m/s에서 0까지 5.56 s가 걸리고 약 77 m를 미끄러집니다(운동학 부분은 등가속도 직선 운동 참조).

예제 4: 엘리베이터 속의 무거워짐과 역산

70 kg인 사람이 1.2 m/s²로 위로 가속하며 출발하는 엘리베이터 안에 서 있습니다. $m = 70$ , $a = 1.2$ 를 입력: 화면 표시 힘 F 84 — 이것은 그를 엘리베이터와 함께 가속시키는 데 필요한 알짜힘입니다. 바닥이 그에게 주는 수직항력은 $mg + ma = 686.47 + 84 = 770.47$ N이고, 체중계는 약 78.6 kg을 표시하는데, 이것이 "무거워짐"입니다; 엘리베이터가 아래로 가속하면 수직항력이 602.47 N이 되어 "가벼워짐"이 됩니다. 계산기가 주는 84 N은 알짜힘 항목일 뿐이고 나머지는 직접 더하고 빼야 합니다.

질량 역산: 어떤 물체가 18 N의 알짜힘으로 3 m/s²의 가속도를 얻습니다. $m$ 을 비우고 $F = 18$ , $a = 3$ 을 입력: 화면 표시 질량 m 6. 가속도 역산: 500 N으로 1200 kg의 차를 밀면 $a = 500 / 1200 = 0.41666667$ , 화면 표시 가속도 a 0.41666667.

그림 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다; 질량을 4, 8, 16으로 바꾸면 같은 가속도에서 힘이 배수로 커지는 것을 볼 수 있습니다; 가속도를 9.8로 바꾸면 그 질량의 중력이 됩니다.

원리와 유도

뉴턴의 원문과 오늘의 표기

《자연철학의 수학적 원리》(1687)에 나오는 제2법칙의 원문은 "운동의 변화는 가해진 힘에 비례하며, 그 힘이 작용하는 직선 방향으로 일어난다"입니다. 여기서 "운동"은 운동량 $p = mv$ 를 뜻하므로, 더 본래의 표기는 $\vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$ 입니다; 질량이 일정하면 $\dfrac{\mathrm d(m\vec v)}{\mathrm dt} = m\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = m\vec a$ 가 되어 교과서의 $F = ma$ 가 나옵니다. 두 표기는 로켓(질량 변화) 같은 문제에서 서로 갈라집니다 — 운동량 계산기 참조.

뉴턴이라는 단위를 정의한다

SI에서 질량, 길이, 시간은 기본량이고 단위는 kg, m, s입니다; 힘은 유도량이며, 뉴턴은 "1 kg의 질량에 1 m/s²의 가속도를 생기게 하는 힘"으로 정의됩니다: $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m·s}^{-2}$ . 따라서 $F = ma$ 는 SI에서 아무 환산 계수도 없습니다 — 이것이 SI를 택한 가장 큰 장점입니다. 야드파운드 단위계에서 파운드힘(lbf), 파운드 질량(lb), ft/s²를 쓰면 공식이 $F = ma / g_c$ , $g_c = 32.174$ 가 되어 실수할 여지가 훨씬 큽니다. 같은 사슬은 계속 이어집니다: 일 / 에너지 $\text{J} = \text{N·m}$ , 일률 $\text{W} = \text{J/s}$ , 압력 $\text{Pa} = \text{N/m}^2$ , 운동량 $\text{kg·m/s} = \text{N·s}$ .

차원: 공식이 맞는지 가장 빨리 확인하는 법

각 물리량에 "차원"을 하나씩 붙입니다: 질량 $\mathsf M$ , 길이 $\mathsf L$ , 시간 $\mathsf T$ . 가속도 $[a] = \mathsf{L\,T^{-2}}$ , 힘 $[F] = \mathsf{M\,L\,T^{-2}}$ . 올바른 물리 등식은 양변의 차원이 반드시 같아야 합니다: $[ma] = \mathsf M \cdot \mathsf{L\,T^{-2}} = [F]$ , 통과. 손으로 계산할 때 $F = mv$ (차원 $\mathsf{M\,L\,T^{-1}}$ )라고 쓰면 이것만 봐도 틀린 것을 알 수 있습니다. 이 사이트의 운동 에너지 문서와 운동량 문서의 공식도 이 방법으로 검산할 수 있습니다; 단위 환산 실수(예: km/h를 m/s로 바꾸지 않음)는 차원을 바꾸지 않아 차원 검사로는 잡히지 않고, 예제 3처럼 스스로 점검해야 합니다.

벡터와 스칼라: 왜 계산기는 "1차원"만 계산하는가

힘, 가속도, 속도, 변위, 운동량은 벡터(크기와 방향이 있음)이고, 질량, 시간, 에너지, 일률은 스칼라입니다. $\vec F = m\vec a$ 는 벡터 등식입니다: 알짜힘의 방향이 곧 가속도의 방향이고, 크기는 $m$ 배입니다. 진짜 3차원 문제는 $x$ , $y$ , $z$ 세 성분마다 $F_x = ma_x$ 등을 한 번씩 써야 합니다. 이 사이트의 물리 계산기는 모두 "1차원 부호 있음" 기준을 취합니다: 양의 방향을 먼저 정하고, 같은 방향은 양수, 반대 방향은 음수로 두면 벡터가 부호 있는 하나의 수로 줄어듭니다 — 예제 3의 $-5\ \text{m/s}^2$ 이 그렇습니다. 2차원 문제(빗면, 포물선 운동)는 힘을 두 수직 방향으로 분해한 뒤 각각 이 계산기를 사용하세요.

g는 얼마인가

$g$ 에는 세 층이 있습니다: 표준값 $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ 는 1901년 제3차 국제도량형총회(CGPM)가 정의한 정확한 약속값으로, 킬로그램힘 같은 단위를 정의하고 계기를 교정하는 데 씁니다; 교재 약속값 9.8 또는 9.81은 손계산을 쉽게 하려고 표준값을 반올림한 것입니다; 실측값은 위도(원심 효과와 지구 편평률), 고도(1 km 올라갈 때마다 약 0.0031 감소), 국지적 지질 변화에 따라 달라지며 적도에서 약 9.780, 극지방에서 약 9.832, 베이징에서 약 9.801입니다. 이 사이트 엔진의 기본값: 이 페이지와 등가속도 두 문서의 필드 기본값은 9.8, 중력 위치 에너지는 9.80665입니다. 문제 풀이는 문제가 준 값, 공학은 규격이 준 값, 정밀 측정은 현지 실측값을 씁니다.

질량과 무게는 다르다

질량은 물체에 고유하고 장소에 따라 변하지 않는 속성(관성의 척도, SI 기본량)입니다; 무게는 지구(또는 달)가 그것을 끌어당기는 중력 $G = mg$ 으로, 힘이며 단위는 N입니다. 일상에서 "체중 70 kg"이라고 말할 때는 사실 질량을 뜻하고, 체중계는 수직항력을 측정해 $g$ 로 나눠 kg으로 표시합니다 — 그래서 예제 4의 엘리베이터에서 "무거워지는" 것입니다. 공학에서 옛 단위 킬로그램힘(kgf)은 1 kg이 $g_0$ 아래에서 받는 무게이고, $1\ \text{kgf} = 9.806\,65\ \text{N}$ 이며, 이것이 $g_0$ 에 정확한 정의가 필요했던 역사적 이유입니다.

가정

$F$ 는 알짜힘: 물체에 작용하는 모든 힘의 벡터합이지, 그중 하나가 아닙니다.
질량 일정: 분사 중인 로켓, 짐을 싣거나 내리는 차량 같은 질량 변화 계에는 적용되지 않습니다.
관성 기준계: 가속하는 차량이나 회전하는 판 위에서 관측하려면 관성력을 도입해야 합니다.
1차원, 부호 있음: 모든 양이 같은 직선 위에 있고 방향은 부호로 나타냅니다.
고전역학 범위: $v \ll c$ ; 광속에 가까워지면 관성이 속도에 따라 커져 $F = ma$ 를 수정해야 합니다.
SI 단위: kg, m/s², N; 화면에서는 단위 환산을 하지 않고, 역산 시 분모가 비면 1로 대체( $a$ 또는 $m$ 이 비었을 때)하는데 이는 비어 있는 필드의 임시 표시에만 영향을 줍니다.

적용 범위와 한계

계산 가능: $F$ , $m$ , $a$ 중 둘로 나머지 하나, 음수(반대 방향) 포함.
근사만 가능: 실제 차량, 엘리베이터의 가속도는 일정하지 않으며 계산되는 것은 평균 알짜힘입니다; $g$ 값 버전에 따라 약 0.1% 차이가 납니다.
계산 불가: 힘의 합성 / 분해, 마찰력과 수직항력, 2차원 이상 벡터 문제, 질량 변화 계, 상대론적 보정, 회전(돌림힘 $\tau = I\alpha$ 필요).
하지 않음: 단위 환산(g→kg, km/h→m/s, N→kgf 또는 lbf), 운동학 공식과의 연동(속도, 변위는 등가속도 두 문서를 사용).
수치: 분모가 0인 역산은 ∞를 표시; 너무 크거나 작은 값은 과학적 표기법으로 표시.

흔한 오해

km/h를 m/s로 착각: 3.6배 차이(예제 3의 5208 N vs 18750 N). 속도는 먼저 3.6으로 나눕니다.
g을 kg으로 바꾸지 않음: 250 g 물체를 250으로 입력하면 힘이 1000배 커집니다(500 N이 아니라 0.5 N이어야 함).
어떤 한 힘을 알짜힘으로 착각: 추진력 500 N, 마찰 200 N이면 $F = 300$ N이 입력할 값입니다. 그림 1의 중력과 수직항력은 서로 상쇄되어 수평 방향 $F$ 에 들어가지 않습니다.
무게를 질량으로 착각: 체중계가 표시하는 kg은 질량입니다; 중력(N)은 $g$ 를 다시 곱해야 합니다. 반대로 "힘 700 N"을 그대로 70 kg으로 볼 수 없습니다.
g 버전 혼용: 같은 문제에서 한 곳은 9.8, 한 곳은 9.81을 쓰면 끝자리가 맞지 않습니다; 처음부터 끝까지 같은 값을 씁니다.
방향 부호 무시: 제동의 알짜힘과 가속도는 모두 음수입니다; 양수만 입력하면 감속이 가속으로 계산됩니다.
가속도 0에서 질량 역산의 ∞를 결과로 착각: 그것은 0으로 나눈 알림이며 문제 조건이 모순입니다.

대표 사용 사례

교육

"1 kg은 약 9.8 N"에서 출발해 뉴턴이라는 단위를 이해하기; $g$ 의 값 버전 비교; 자유물체도로 알짜힘과 개별 힘 구분하기; 차원으로 공식 검산하기.

교통과 기계

차량 가감속에 필요한 구동력 / 제동력, 엘리베이터와 기중기의 정격 가속도에 대응하는 동하중, 컨베이어가 출발할 때 화물에 필요한 마찰력.

항공우주와 스포츠

로켓 이륙 가속도에 대응하는 추력(추력 대 중량비), 원심분리기와 롤러코스터의 "몇 g", 선수가 스타트할 때 지면이 주는 추진력.

일상 어림셈

카트 밀기, 짐 끌기에 필요한 힘; 저울 눈금 변화로 엘리베이터 가속도 어림하기(예제 4의 역문제).

자주 묻는 질문

F는 알짜힘인가요, 제가 가한 힘인가요?

알짜힘입니다. 100 N을 밀고 마찰이 40 N이면 60을 입력합니다. 계산기는 힘의 합성을 하지 않으며, 그림 1이 무엇이 $F$ 에 들어가고 무엇이 들어가지 않는지 보여 줍니다.

g에 9.8과 9.81 중 무엇을 넣나요?

문제나 규격이 지정한 값을 씁니다; 지정이 없으면 중·고등에서는 보통 9.8, 대학과 공학에서는 보통 9.81, 정확한 약속값이 필요한 경우에는 9.80665(표준 중력 가속도 $g_0$ )를 씁니다. 셋이 결과에 미치는 영향은 0.1% 미만입니다.

질량은 왜 음수를 못 넣는데 가속도는 되나요?

질량은 스칼라이고 항상 양수입니다; 가속도는 벡터이고 음수 부호는 정한 양의 방향과 반대라는 뜻입니다. 엔진은 음수 질량을 막지 않지만 결과에 물리적 의미가 없습니다.

100 km/h를 왜 27.78 m/s로 바꿔야 하나요?

뉴턴의 정의가 kg, m, s를 쓰기 때문입니다. $1\ \text{km/h} = 1000\ \text{m} / 3600\ \text{s} = 0.27778\ \text{m/s}$ ; 환산하지 않으면 나오는 수는 N도 아니고 어떤 표준 단위도 아닙니다.

로켓은 왜 F = ma를 바로 쓸 수 없나요?

로켓은 분사하면서 가벼워져 $m$ 이 시간에 따라 변하므로 $\vec F = \mathrm d\vec p/\mathrm dt$ 의 운동량 형식(치올콥스키 방정식)을 써야 합니다. 특정 순간의 가속도는 그때의 질량을 넣어 $a = F/m$ 으로 어림할 수 있습니다.

운동 에너지, 운동량 계산기와는 어떤 관계인가요?

셋은 kg, m, s 체계를 공유합니다: 힘이 시간 동안 작용하면 운동량을 주고( $F\Delta t = \Delta p$ ), 거리 동안 작용하면 운동 에너지를 줍니다( $Fs = \Delta E_k$ ). 운동 에너지 계산기와 운동량 계산기 참조.

참고 자료와 더 알아보기

CalcX 엔진 소스 src/data/formulasScience.ts의 phys-newton2 정의(compute(known, solveFor) 3방향 계산, 필드 단위 kg / m/s² / N, 역산 시 분모가 비면 1로 대체); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 재계산했습니다.
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）— 뉴턴의 정의, 기본 단위와 유도 단위 표, 표준 중력 가속도.
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity $g_n$ （访问日期：2026-09-09）— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ (정확값).
Isaac Newton, Principia (1687), Axioms, or Laws of Motion, Law II, Motte 영어역（访问日期：2026-09-09）— "운동의 변화는 가해진 힘에 비례한다"는 원문 표현.
Wikipedia, Newton's laws of motion（访问日期：2026-09-09）— 세 법칙의 현대적 표현, 운동량 형식과 적용 범위.
Wikipedia, Gravity of Earth（访问日期：2026-09-09）— 위도, 고도에 따른 $g$ 의 변화와 지역별 실측값.
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics — 힘, 질량, 가속도, 무게의 양과 단위 정의.

개인정보

모든 입력과 계산은 브라우저 안에서 이루어지며 서버로 전송되지 않습니다; 이 페이지의 설명은 정적 콘텐츠이며 어떤 사용자 입력도 포함하지 않고 기록하지 않습니다.

来源与审阅

更新: 2026-09-09