한 패널에 세 가지 솔버 수학 도구 안의 방정식 패널은 세 가지 문제를 풉니다. 다항식 은 계수를 최고차부터 내림차순으로 받아 실근이든 복소근이든 모든 근을 돌려줍니다. 연립 은 확대 행렬로 입력한 2×2~6×6 선형 연립방정식을 풀고, 작업 공간에서 행렬을 읽을 수도 있습니다. 근 은 f(x) = 0 위의 구간을 훑고 각 근을 잔차와 함께 보고하며, 극점을 교차점으로 착각하지 않습니다. 접힌 단위 확인 구역이 변수를 주석해 차원 오류를 일찍 잡아내며, 풀이를 막지 않습니다.
각 모드 실행 방법 01 다항식: 계수를 높은 차수에서 낮은 차수로, 쉼표로 구분해 입력합니다 — 1, -6, 11, -6 은 x³ − 6x² + 11x − 6 — 그리고 Solve를 누릅니다. 02 연립: 크기(2–6)를 설정하고 [A|b] 격자를 채우거나 작업 공간에서 행렬 변수를 고른 뒤 Solve를 누릅니다. 03 근: x에 대한 식과 구간 a < b를 입력하고 Solve를 누릅니다; 결과는 x₁ ≈ … 를 나열하고 각각 |f(x)| 를 붙이며, 근이 짝수 중근의 접점이면 경고 줄을 표시합니다. 04 판정을 읽습니다. 2차 다항식은 Δ와 두 근을 출력합니다; 더 높은 차수는 동반 행렬 고유값으로 돌아오며 방법이 근사임을 알립니다. 05 답을 넘깁니다 — 벡터로 작업 공간, 보고서 블록 또는 벡터를 받는 다른 패널에 보냅니다. 예시
모드 · 입력
판독
다항식 1, -6, 11, -6
x1 = 1.00000000 , x2 = 2.00000000 , x3 = 3.00000000
다항식 1, 1e8, 1
x₁ = −100000000 , x₂ = −1e-8 , Δ = 9999999999999996
다항식 1, 0, 1
x₁ = 0.000000+1.000000i , x₂ = 0.000000-1.000000i
연립 3×3, [A|b] 행 2 1 −1 8; −3 −1 2 −11; −2 1 2 −3
x1 = 2.00000000 , x2 = 3.00000000 , x3 = −1.00000000
근 x^2 - 4, [−10, 10]
x1 ≈ −2 , x2 ≈ 2 , 각각 |f(x)| = 0.00e+0
근 sin(x), [−10, 10]
x1 ≈ −9.424777961 에서 x7 ≈ 9.424777961 까지 7 개의 근
삼차식은 (x−1)(x−2)(x−3)으로 인수분해되고, 고유값은 소수 여덟 자리까지 정수에 떨어집니다. 3×3 연립방정식은 세 행을 모두 만족합니다: 2·2 + 3 − (−1) = 8, −6 − 3 + 2·(−1) = −11, −4 + 3 + 2·(−1) = −3.
작은 근이 맞는 이유 x² + 10⁸·x + 1 에서 두 근은 여덟 자릿수만큼 차이 나고, 교과서 공식은 상쇄로 작은 근을 대부분 잃습니다: (−b + √Δ)/2a 를 그대로 계산하면 −7.45058e-9 로, 참값 −10⁻⁸ 에서 약 25.5 % 벗어납니다. 패널은 뺄셈을 피하는 분기 — q = −(b + sign(b)·√Δ)/2 — 를 택하고 비에타 관계 c/q 로 다른 근을 되찾아 −1e-8 을 출력합니다. Δ 행은 여전히 정확해 보이는 9999999999999996 , 즉 10¹⁶ − 4 의 배정밀도 값을 보여줍니다.
제한
차수 ≥ 3은 수치적. 고차 다항식의 근은 동반 행렬 고유값에서 나오며 근사로 표시됩니다; 1.00000000 스타일 출력을 기대하고 기호 형식은 나오지 않습니다. 최고차 계수는 0이 아니어야 하고 모든 계수가 수로 해석되어야 합니다.
근 모드는 유한 구간을 훑습니다. [a, b] 안에 교차가 없으면 추측하지 않고 그렇게 말합니다; 극점의 부호 변화는 제외되고, 짝수 중근 접점에는 표시가 붙습니다. 하지 않는 일. 부등식, 미지수가 여섯 개를 넘는 연립, 매개변수가 있는 기호 방정식은 풀지 않고 유도 과정도 보여주지 않습니다 — 인수분해, 완전제곱, 대입 확인은 단계별 로, 계수 행렬의 계수와 행렬식은 행렬 도구 로 방정식을 가져가세요. 상쇄 함정 1, 1e8, 1 을 입력하면 패널은 x₂ = −1e-8 이라고 답합니다. 같은 이차식을 순진한 공식으로 종이나 스프레드시트에서 풀면 −7.45e-9 — 여전히 0에 가깝지만 근에 25 % 의 상대 오차가 있습니다. 교훈은 일반화됩니다: 계수가 여러 자릿수만큼 다를 때 표시되는 근이 믿을 만한 것은 패널이 대수를 재배열하기 때문이며, 교과서 식으로 손으로 재현해서는 안 됩니다.
도움이 되는 곳 적합이나 설계 방정식 확인 보정 다항식이나 특성 방정식을 계수로 붙여 넣고 근 하나씩 검사할 수 있습니다. 1, 0, 1 의 복소 켤레 쌍은 실근이 존재하지 않음을 보여주므로, 실수값 설계표에는 찾을 해가 없습니다.
작은 평형 시스템 풀기 3노드 네트워크, 수지 방정식, 메시 전류는 2×2–6×6 시스템으로 줄어듭니다; 확대 격자가 이를 직접 받아들이고, 작업 공간 행렬은 클릭 한 번으로 고를 수 있습니다. LU 풀이는 소수 여덟 자리를 출력해 손 계산 검증에 충분합니다.
개인정보 세 솔버 모두 브라우저에서 로컬로 실행되며 계수, 행렬, 구간은 결코 업로드되지 않습니다.
참고문헌
Wikipedia, Quadratic equation , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 판별식과 수치적으로 안정한 근 형식.
Wikipedia, Companion matrix , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 동반 행렬의 고유값으로서의 근.
Wikipedia, Brent's method , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 구간에서의 브래킷 근 찾기.
Wikipedia, System of linear equations , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 확대 행렬과 소거법.
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Sources & review
Updated 2026-10-07