Deslocamento MRUV: s = v₀t + ½at², frenagem e queda

A calculadora de deslocamento no MRUV resolve s = v0 t + \tfrac12 a t^2: dadas a velocidade inicial v0, a aceleração constante a e o tempo t, obtém-se o deslocamento s nesse intervalo; também é possível, a partir do deslocamento e do tempo, obter a velocidade inicial ou a aceleração — quanto uma pedra cai em 3 segundos, quantos metros um carro percorre até parar a 100 km/h, qual a aceleração média para percorrer 100 m em 8 segundos.

Deslocamento MRUV: s = v₀t + ½at², frenagem e queda

Descrição da calculadora

A calculadora de deslocamento no MRUV resolve $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : dadas a velocidade inicial $v_0$ , a aceleração constante $a$ e o tempo $t$ , obtém-se o deslocamento $s$ nesse intervalo; também é possível, a partir do deslocamento e do tempo, obter a velocidade inicial ou a aceleração — quanto uma pedra cai em 3 segundos, quantos metros um carro percorre até parar a 100 km/h, qual a aceleração média para percorrer 100 m em 8 segundos.

É a segunda das quatro fórmulas básicas da cinemática e faz par com a calculadora de velocidade final ( $v = v_0 + at$ ): aquela diz como a velocidade muda; esta, quanto se avançou. As duas têm o mesmo conteúdo físico — aceleração constante — e diferem apenas na grandeza pedida. O deslocamento é a área sob a reta do gráfico v–t; essa interpretação geométrica é o fio condutor da página e a ligação, não tão óbvia, com a área do trapézio.

O que ela não faz: não resolve o tempo a partir do deslocamento (seria uma equação do segundo grau; a página mostra como fazer à mão); não calcula a velocidade final (use a calculadora par); não trata aceleração variável no tempo; só trabalha em uma dimensão — lançamentos oblíquos exigem calcular as direções horizontal e vertical em separado; não converte unidades.

Fórmula e variáveis

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

Resolvendo ao contrário (as duas inversões que o motor implementa):

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$v_0$	Velocidade inicial (em $t = 0$ )	Velocidade inicial v₀ (m/s)	m/s	Qualquer número real; padrão 0. O sinal de menos indica sentido oposto ao positivo
$a$	Aceleração (constante)	Aceleração a (m/s²)	m/s²	Qualquer número real; padrão 9.8. Negativa quando oposta a $v_0$
$t$	Tempo decorrido	Tempo t (s)	s	$t \ge 0$ ; sem padrão, vazio ao abrir
$s$	Deslocamento (distância orientada em relação ao ponto de partida no instante $t$ )	Deslocamento s (m)	m	Saída; no modo inverso vira entrada. Com sinal

Verificação dimensional: $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ e $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ ; os dois termos são comprimentos. O $\tfrac12$ vem da área do triângulo (veja o princípio).

Como usar esta calculadora

Abrir o painelesta página corresponde a "Ferramentas matemáticas → Fórmulas → Deslocamento MRUV" (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement). Ao abrir, "Velocidade inicial v₀" = 0 e "Aceleração a" = 9.8 já estão preenchidos e "Tempo t" está vazio; o campo do tempo fica vazio e "Deslocamento" aparece com a etiqueta "calcular" mostrando 0 — o motor não resolve o tempo a partir do deslocamento, e o $t$ vazio conta como 0, dando $s = 0$ . Isso não é resultado.
Obter o deslocamentopreencha "Tempo t" em segundos e o deslocamento atualiza na hora. Em movimento freado, preencha $a$ negativo; o deslocamento pode ficar negativo (abaixo do ponto de partida).
Resolver a aceleraçãolimpe "Aceleração a" e preencha $v_0$ , $t$ e $s$ ; o campo da aceleração passa a "calcular" e mostra $2(s - v_0 t)/t^2$ .
Resolver a velocidade iniciallimpe "Velocidade inicial v₀" e preencha $a$ , $t$ e $s$ ; o campo mostra $(s - \tfrac12 at^2)/t$ .
Calcular o tempoo motor não dá suporte; ao limpar $t$ , o campo fica vazio. À mão: $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ , $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ (raiz positiva); ou use a calculadora de velocidade final para resolver $t$ a partir de $v$ e volte para cá.
Ler o resultadoos valores mantêm no máximo 8 casas decimais, com zeros à direita removidos.
Copiar a fórmulao botão de copiar à direita do título do painel copia o LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 para a área de transferência.

Exemplos

Os quatro exemplos foram recalculados pelo compute do motor phys-displacement; a exibição usa no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita, em m/s, m/s², s e m.

Exemplo 1: o 1 : 4 : 9 da queda livre

Entrada: $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 1$ . $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ . A interface mostra: deslocamento s 4.9.

Mudando o tempo para 2 e 3, a interface mostra, em sequência, 19.6 e 44.1. A razão entre os três números é $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ — a distância de queda é proporcional ao quadrado do tempo. As distâncias acrescentadas a cada segundo são 4.9, 14.7 e 24.5, na razão 1 : 3 : 5; é a "lei dos números ímpares" que Galileu extraiu em 1638 dos experimentos com planos inclinados e que usou para concluir que "a velocidade é proporcional ao tempo (e não à distância)".

Exemplo 2: distância percorrida até parar a 100 km/h

Um carro a 100 km/h ( $27.78\ \text{m/s}$ ) desacelera a $-5\ \text{m/s}^2$ . Primeiro, na calculadora de velocidade final, obtém-se o tempo de parada, 5.55555556 s; de volta a esta página: $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 5.55555556$ . $s = 27.78 \times 5.56 - \tfrac12 \times 5 \times 5.56^2 = 154.32 - 77.16 = 77.16$ . A interface mostra: deslocamento s 77.16049384.

Conferindo: a fórmula sem tempo, $v^2 = v_0^2 + 2as$ , dá $s = 27.78^2 / (2 \times 5) = 77.1604938$ , o mesmo valor; a velocidade média $\tfrac12 \times 27.78 = 13.89\ \text{m/s}$ multiplicada por 5.56 s também dá 77.16. A distância de frenagem é proporcional ao quadrado da velocidade: dobrando a velocidade, a distância quadruplica — é a base física dos limites de velocidade.

Figura 1: o deslocamento é a área sob o gráfico v–t (à esquerda, o triângulo da frenagem do exemplo 2); o gráfico s–t é uma parábola (à direita, a queda livre do exemplo 1, 1 : 4 : 9)

Exemplo 3: resolver aceleração e velocidade inicial pelo deslocamento

Resolver a aceleração: um carro parte do repouso e percorre 100 m em 8 segundos; qual a aceleração média? Limpe $a$ e preencha $v_0 = 0$ , $t = 8$ , $s = 100$ : $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ . A interface mostra: aceleração a 3.125.

Compare com o $a = 3.47222222$ de "8 segundos até 100 km/h" da calculadora de velocidade final: nos mesmos 8 segundos, aquele carro percorre $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m. Preencha $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ , $t = 8$ e a interface mostra deslocamento 111.11111104 — o "04" final é resíduo de arredondamento por substituir a aceleração com 8 casas decimais, não é erro.

Resolver a velocidade inicial: um corpo percorre 50 m em 2 segundos sob desaceleração de $a = -5$ ; com que velocidade partiu? Limpe $v_0$ e preencha $a = -5$ , $t = 2$ , $s = 50$ : $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ . A interface mostra: velocidade inicial v₀ 30.

Exemplo 4: lançamento vertical e trem

Lançamento vertical (para cima positivo, $a = -9.8$ ): bola lançada a 19.6 m/s; em $t = 2$ , $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ . A interface mostra: deslocamento s 19.6 — a altura máxima é 19.6 m (nesse instante $v = 0$ ; veja o exemplo 3 da calculadora de velocidade final). Em $t = 4$ , $s = 78.4 - 78.4 = 0$ . A interface mostra: 0 — a bola voltou à altura de lançamento. O deslocamento é zero, mas a distância percorrida pela bola é 39.2 m: o deslocamento é a variação líquida orientada; a distância percorrida é o comprimento total do trajeto.

Trem: um trem a 20 m/s acelera a 0.5 m/s² por 1 minuto. $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $s = 1200 + 900 = 2100$ . A interface mostra: deslocamento s 2100. A parte uniforme (1200 m) e os 900 m devidos à aceleração formam um termo cada.

A entrada do exemplo 1 pode ser preenchida direto no painel para reproduzir; mude o tempo para 1, 2 e 4 e veja o deslocamento crescer na proporção 1 : 4 : 9 : 16; mude a aceleração para 1.62 (Lua) e veja que, em 3 segundos, a queda é de apenas 7.29 m.

Princípio e derivação

O deslocamento é a área sob o gráfico v–t

No movimento uniforme, o deslocamento $= vt$ é a área de um retângulo no gráfico v–t. No movimento uniformemente variado a velocidade muda, mas dá para cortar o tempo em muitos intervalos pequenos, aproximar cada um por movimento uniforme e somar os deslocamentos, obtendo a área do trapézio sob a reta. A reta sobe de $v_0$ até $v_0 + at$ , e a área do trapézio é $= \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ — é daí que vem o $\tfrac12$ . O triângulo da frenagem na figura 1, à esquerda, é o caso particular em que $v_0 = 27.78$ cai até 0: área $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ . A calculadora de área do trapézio calcula exatamente a mesma coisa.

Entendendo pela velocidade média

Com aceleração constante, a velocidade média é exatamente a média aritmética das velocidades inicial e final, $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ , e o deslocamento é $= \bar v\, t$ . Substituindo $v = v_0 + at$ , volta-se a $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ . É também a quarta fórmula da cinemática, $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ . Ela só vale para aceleração constante — com aceleração variável, a velocidade média deixa de ser o ponto médio entre início e fim.

Eliminando o tempo: $v^2 = v_0^2 + 2as$

De $v = v_0 + at$ vem $t = (v - v_0)/a$ ; substituindo na fórmula do deslocamento e simplificando, obtém-se $v^2 = v_0^2 + 2as$ , sem o tempo. O exemplo 2 usou essa relação para conferir a distância de frenagem. Multiplicando os dois lados por $\tfrac12 m$ , chega-se a $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ — o teorema da energia cinética: o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética. A calculadora de energia cinética continua a partir daí.

O gráfico s–t é uma parábola

$s$ é uma função quadrática de $t$ e o gráfico é uma parábola (figura 1, à direita). Com $v_0 = 0$ , o vértice fica na origem e a concavidade depende do sinal de $a$ . O coeficiente angular da tangente em cada ponto é a velocidade naquele instante: em $t = 0$ , a inclinação é $v_0$ . O gráfico s–t do lançamento vertical é uma parábola com concavidade para baixo; o vértice é a altura máxima e a segunda interseção com o eixo horizontal é o instante de volta à altura de lançamento ( $t = 4$ no exemplo 4).

Por que resolver o tempo é uma equação do segundo grau

Dados $s$ , $v_0$ e $a$ , obter $t$ exige resolver $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ . Pode haver duas raízes positivas (a bola lançada passa duas vezes pela mesma altura: subindo e descendo) ou nenhuma (a bola não alcança aquela altura). O motor opta por não dar uma única resposta no campo, para não descartar uma raiz em silêncio; quando precisar, faça à mão pelo passo 5 e examine as duas raízes.

O plano inclinado de Galileu

A queda livre é rápida demais, e em 1638 não havia relógio capaz de medi-la. Galileu fez bolas rolarem por planos inclinados lisos, mediu o tempo com relógio de água e descobriu que a distância é proporcional ao quadrado do tempo e que as distâncias em intervalos iguais consecutivos estão na razão 1 : 3 : 5 : 7, sem que a proporção mudasse ao aumentar a inclinação. Daí concluiu que a queda vertical (inclinação de 90°) seguia o mesmo padrão. O $g$ de $s = \tfrac12 g t^2$ só foi medido com precisão depois de 1638.

Premissas

Aceleração constante: $a$ não muda durante todo o $t$ . A aceleração real de um veículo varia com a velocidade; o cálculo dá o valor equivalente médio.
Movimento retilíneo, uma dimensão: deslocamento, velocidade e aceleração são colineares, e o sentido é dado pelo sinal.
O movimento continua até $t$ : a fórmula não para automaticamente quando o corpo para (veja a nota depois do exemplo 4).
Sem resistência: o exemplo de queda livre ignora a resistência do ar.
Unidades SI: m/s, m/s², s, m; sem conversões.
Critério da interface: o $t$ vazio conta como 0, por isso o deslocamento mostra 0 ao abrir; nos cálculos inversos, o denominador $t$ vazio é tratado como 1.

Aplicabilidade e limites

Calcula: $s$ a partir de $v_0$ , $a$ e $t$ ; $a$ ou $v_0$ a partir de $s$ , $t$ e a outra grandeza; aceita valores e deslocamentos negativos.
Apenas aproxima: movimento com aceleração variável só por trechos; usar $g = 9.8$ traz uma diferença de cerca de 0.1% em relação ao valor normativo.
Não calcula: o tempo a partir do deslocamento (equação do segundo grau, à mão); velocidade final (use a calculadora par); lançamentos bidimensionais (separe as direções); distância percorrida (soma dos módulos, exigiria saber se houve inversão de sentido).
Não faz: conversão de unidades; verificar se o movimento já terminou.
Numérico: substituir resultados com 8 casas decimais deixa resíduos na última casa (o 111.11111104 do exemplo 3).

Erros comuns

Esquecer o ½: com $s = at^2$ , a queda livre de 3 segundos dá 88.2 m, o dobro do valor real. O $\tfrac12$ vem da área do triângulo e não é opcional.
Tomar deslocamento por distância percorrida: no lançamento que volta ao ponto de partida, o deslocamento é 0 e a distância percorrida não é (exemplo 4).
Continuar calculando depois da frenagem: com $t$ maior que o tempo de parada, a fórmula faz o carro andar para trás (nota após o exemplo 4).
Informar km/h direto: 100 km/h informado como 100 dá uma distância de frenagem de 1000 m. Converta antes para 27.78 m/s.
Esquecer o sinal negativo na frenagem: a $a$ da frenagem é $-5$ ; com $+5$ o resultado se afasta cada vez mais.
Usar a velocidade final no lugar da inicial: o $v_0$ da fórmula é a velocidade no início do intervalo.
Elevar ao quadrado outra grandeza além do tempo: em $\tfrac12 a t^2$ , só o $t$ é elevado ao quadrado.

Casos de uso típicos

Ensino

O 1 : 4 : 9 da queda livre e a lei dos ímpares; o método da área no gráfico v–t; deslocamento e distância percorrida; a simetria do lançamento vertical; a origem do teorema da energia cinética.

Segurança no trânsito

Distância de frenagem para uma dada velocidade e desaceleração (somada ao trecho uniforme do tempo de reação $= v \times t_\text{reação}$ ); a relação quadrática entre limite de velocidade e distância de parada.

Engenharia

Cursos de aceleração e frenagem de elevadores e esteiras; comprimentos de posicionamento em pontes rolantes e avanços de máquinas; aceleração necessária para um dado curso e tempo.

Esporte e dia a dia

Estimativa do tempo e da velocidade de entrada na água a partir da altura de um trampolim; altura máxima de um lançamento; profundidade de poço ou altura de prédio pelo tempo de queda (atenção ao tempo de retorno do som).

Perguntas frequentes

Por que o deslocamento mostra 0 e o tempo está vazio ao abrir o painel?

O tempo ainda não foi preenchido e o motor trata $t$ como 0; como o motor não resolve o tempo a partir do deslocamento, o campo do tempo permanece vazio. Preencha o tempo para normalizar.

Como obter o tempo a partir do deslocamento?

Resolva a equação do segundo grau $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ : $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ; com $v_0 = 0$ , simplifica para $t = \sqrt{2s/a}$ . Ou use a calculadora de velocidade final para obter $t$ a partir de $v$ .

Qual é a diferença entre deslocamento e distância?

O deslocamento é a distância orientada em linha reta do ponto final em relação ao inicial, com sinal; a distância percorrida é o comprimento total do trajeto. Em movimento retilíneo sem inversão de sentido, os dois coincidem; após uma inversão, o deslocamento começa a diminuir enquanto a distância continua aumentando.

Por que a distância de frenagem é proporcional ao quadrado da velocidade?

Em $v^2 = v_0^2 + 2as$ , com $v = 0$ , $s = v_0^2 / (2|a|)$ . Dobrando a velocidade, $v_0^2$ quadruplica.

No lançamento vertical, a bola sobe e desce a mesma distância?

Sem resistência, sim: a parábola s–t é simétrica em relação à altura máxima. Com resistência, a descida é mais lenta e demora mais.

Dá para usar com resistência do ar forte?

Não. A resistência cresce com a velocidade e a aceleração deixa de ser constante. Gotas de chuva, paraquedistas e penas não têm MRUV.

Referências e leitura complementar

Definição phys-displacement no código do motor CalcX, src/data/formulasScience.ts (compute(known, solveFor) para s / v₀ / a); todos os números desta página foram recalculados por esse motor.
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）—— tabela completa das cinco grandezas e quatro fórmulas, com deduções.
Wikipedia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）—— definições de deslocamento e distância percorrida.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, tradução inglesa de Crew & de Salvio（访问日期：2026-09-09）—— o texto original da lei dos números ímpares e dos experimentos com planos inclinados.
Wikipedia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）—— fórmulas de distância de frenagem, distância de reação e desacelerações típicas.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time—— definição das grandezas e unidades de deslocamento, velocidade e aceleração.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09