Sim de física: projétil, pêndulo, mola, órbita e E×B

O Physics Sim executa seis problemas clássicos de valor inicial no navegador: movimento de projétil com arrasto linear ou quadrático opcional, um pêndulo de grande ângulo, um pêndulo duplo, um sistema massa-mola-amortecedor, uma órbita kepleriana de dois corpos e uma partícula carregada em campos E e B cruzados. As abas compartilham um motor, um seletor de integrador e um gráfico de deriva da conservação; cada aba tem seu próprio endereço (/science/physics/kepler) e chips de predefinição como Drag-free 45° ou Eccentric e=0.9. As unidades são SI, o arrasto está desativado por padrão, e g = 9.80665 m/s² nos três sistemas gravitacionais.

更新 2026-10-016 个来源约 6 分钟读完

Como realizar uma execução

Escolha um sistemana barra de abas ou abra sua URL; um chip de predefinição preenche um caso conhecido, e o cartão de equação indica o modelo e sua quantidade conservada.
Defina os parâmetroscom controles deslizantes ou campos digitados: velocidade, ângulo em graus, massa e g; comprimento e ritmo do pêndulo; amortecimento e rigidez; excentricidade, periapsia e μ; carga, campos e velocidade inicial.
Escolha o integrador e a resolução.Euler explícito, RK4 clássico, RK45 adaptativo (Dormand–Prince) e Velocity Verlet (simplético) nos sistemas separáveis; Compare integrators executa todos. Exceto no projétil, a execução dura um número de períodos característicos (giroperíodos para E×B), com steps per period definindo o passo.
Reproduza, arraste, leia.Reproduza de 1× a 16×, arraste a barra de tempo, alterne o rastro; os cartões de resultado trazem os números principais e o chip de confiança indica o método, seu resíduo e qualquer aviso âmbar.
Reutilize o resultado.Publique um cartão, fixe-o, adicione-o a um relatório ou envie a trajetória como tabela e a série principal como vetor; open with these inputs restaura o instantâneo. Uma expressão enviada aqui se torna uma força de mola personalizada F(t).

Exemplos resolvidos

Cada leitura vem destes painéis com o integrador padrão (RK4, 400 passos por período característico).

Painel · entrada	Leitura
Projétil · Drag-free 45°, v₀ 30 m/s	alcance 91.7745 m, altura máxima 22.9436 m, voo 4.32629 s; desvio em relação a v₀²sin2θ/g 2.63e-15
Projétil · arrasto quadrático, 60 m/s a 40°, c 0.012	alcance 104.524 m, impacto 22.694 m/s a -64.71°, velocidade terminal 28.587 m/s; alcance sem arrasto 361.52 m (−71.1%)
Pêndulo · 60°, L 1 m	período exato 2.153242 s, pequeno ângulo 2.006409 s (-6.819%)
Mola · m 1 kg, c 0.4 N·s/m, k 16 N/m	ω_n 4 rad/s, ζ 0.05, ω_d 3.995 rad/s, c_c 8 N·s/m, Q 10
Kepler · elipse e 0.6, r_p 1, μ 1	período 24.83647 s, medido 24.83645 s, a 2.5, r_p/r_a 1 / 4, desvio de Kepler III 7.43e-7
Pêndulo duplo · caos forte 180°/90°	modos normais 2.6215 / 1.0859 s, λ 1.255 /s (R²=0.945), 1/λ 0.7966 s
Deriva E×B · q 1 C, m 1 kg, Eₓ 1 V/m, B_z 2 T	v_d (0, -0.5) m/s, medido (-5.0401e-10, -0.5) m/s, ω_c 2 rad/s, giroperíodo 3.14159 s, girorraio 0.559017 m

Nos valores compartilhados — R = v₀²sin2θ/g, T = 2π√(a³/μ), v_d = E×B/B² — teoria e simulação concordam em 1e-7 ou melhor (2.63e-15 no alcance sem arrasto), e o painel imprime o resíduo.

Premissas e limites

Um modelo por aba.: O projétil parte de uma altura h₀, o arrasto fica desativado por padrão (-bv linear ou -c|v|v quadrático quando ativado), e a fórmula fechada do alcance supõe retorno à altura de lançamento. O pêndulo mantém sin θ — o T₀ de pequeno ângulo é apenas uma linha de comparação. A mola é um amortecedor linear movido por F₀cos ωt ou por um F(t) digitado; Kepler é um problema ideal de dois corpos no plano; E×B usa campos estáticos uniformes com B ao longo de z.
Os passos definem a precisão.: Euler e RK4 de passo fixo resolvem mal passagens rápidas; o gráfico de deriva e o aviso âmbar quantificam isso e indicam a correção — RK45 adaptativo ou mais passos por período. As leituras são arredondadas na exibição (quase sempre seis dígitos significativos), e a amplitude estacionária numérica da mola forçada só é significativa depois que o transitório se dissipa.
O que ele não faz.: Sem corpos rígidos, colisões, fluidos ou N corpos, sem conversão de unidades, sem orçamento de incerteza: ele integra massas pontuais em SI. Barras de erro pertencem ao Uncertainty, sinais e controladores ao Engineering Lab, e expressões tipadas ou trabalho simbólico à scientific calculator e ao Math Tools.

A armadilha do integrador: uma órbita que fecha cedo

Carregue Eccentric e=0.9 na aba Kepler (r_p 1, μ 1) e deixe o RK4 a 400 passos por período: o período medido é 190.7812 s contra 2π√(a³/μ) = 198.6918 s — um desvio de Kepler III de 3.98e-2 — com resíduo do ajuste cônico de 1.36e-1 e o aviso âmbar de periapsia sub-resolvida. O passo não acompanha a passagem rápida pela periapsia, então o erro aparece como precessão espúria e a elipse fecha cerca de 4% cedo. Troque para RK45 adaptativo e lê 198.6918 s, 1.85e-7, 2.53e-7; até a elipse padrão e = 0.6 dispara o aviso com RK4 (resíduo 3.55e-6), que o RK45 elimina (1.98e-7).

Onde o laboratório é usado

Ensino e cursos

O pêndulo torna o erro de pequeno ângulo visível: a 5°, T₀ desvia apenas -0.048% do exato 2.007365 s; a 60°, fica -6.819% abaixo de 2.153242 s; e a 179° o período é 7.82713 s, T/T₀ = 3.90107, erro -74.366%. O gráfico de deriva ensina os integradores: em quatro períodos a deriva de energia do Euler chega a 4.43e-1, o RK4 mantém 5.13e-10, e o Velocity Verlet oscila dentro de 6.51e-5 sem subir.

Balística e esporte

O arrasto reescreve o voo: um projétil de 60 m/s a 40° com c = 0.012 aterrissa a 104.524 m em vez de 361.52 m (−71.1%), chega a -64.71°, perde 85.69% de sua energia mecânica e mostra velocidade terminal de 28.587 m/s.

Órbitas e plasma

A órbita com e = 0.6 dá a = 2.5, r_p/r_a = 1 / 4, ε = -0.2, h = 1.26491, e a execução simplética conserva o momento angular em 4.39e-15. Na aba E×B, a predefinição de carga negativa mantém v_d = (0, -0.5) m/s — a deriva não se importa com o sinal da carga nem com a massa.

Referências

BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9.ª edição — as unidades SI usadas em todo o laboratório. bipm.org （访问日期：2026-10-01）
NIST Special Publication 811, Apêndice B.8 — aceleração padrão da gravidade 9.806 65 m/s², o valor padrão de g. nist.gov （访问日期：2026-10-01）
Wikipédia, Pendulum (mechanics) — o período exato 4√(L/g)·K(sin θ₀/2) e a expansão de pequeno ângulo. en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipédia, Kepler's laws of planetary motion — classificação das órbitas pela energia e o período T = 2π√(a³/μ). en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipédia, Guiding center — a deriva E×B v_d = E×B/B², independente do sinal da carga e da massa. en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipédia, Lyapunov time — separação exponencial de trajetórias vizinhas e o horizonte de caos 1/λ. en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）