溶液稀释计算器 C₁V₁ = C₂V₂：原液取多少、加水到多少

计算器说明

稀释计算器解 $C_1 V_1 = C_2 V_2$ ：从浓度 $C_1$ 的原液里取 $V_1$ ，加溶剂到总体积 $V_2$ ，得到浓度 $C_2$ 。四个量里任意三个已知，都能反解第四个——12 mol/L 的浓盐酸取 10 mL 要加水到多少才是 1 mol/L、配 250 mL 的 0.5 mol/L 溶液要吸多少原液、稀释 20 倍后测得 0.1 mol/L 的样品原来有多浓。

这条式子只说一件事：稀释前后溶质的量不变，变的只是体积。因为它是一个比例式，浓度不限于 mol/L——质量分数（37% 盐酸）、g/L、mg/mL、ppm、缓冲液的「10×」倍数都能直接代入，只要 $C_1$ 与 $C_2$ 同一种单位、 $V_1$ 与 $V_2$ 同一种单位。mol 是什么、五种浓度怎么换算、为什么体积要「定容」而不是相加，是化学簇锚点摩尔浓度计算器的内容，本页只在用到时点一句。

它不做的事：不算要加多少溶剂（ $V_2 - V_1$ ，手算一步，见算例 1）；不判断目标浓度是否高于原液（稀释只能变稀， $C_2 > C_1$ 时给出的结果没有物理意义，见算例 4）；不处理体积不可加、放热、挥发；不做 mL ↔ L 换算；不能用于 pH 这类对数刻度的「浓度」。

公式与变量

C_1 V_1 = C_2 V_2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{稀释倍数}\ \frac{C_1}{C_2} = \frac{V_2}{V_1}

四个反解（引擎全部实现）：

V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_2},\quad C_2 = \frac{C_1 V_1}{V_2},\quad V_1 = \frac{C_2 V_2}{C_1},\quad C_1 = \frac{C_2 V_2}{V_1}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$C_1$	原液（储液）浓度	原浓度 C₁ (mol/L)	mol/L（或任何与 $C_2$ 一致的浓度单位）	$C_1 > 0$ ；默认 12（商品浓盐酸约 12 mol/L）
$V_1$	从原液取出的体积	取用体积 V₁ (mL)	mL（或任何与 $V_2$ 一致的体积单位）	$V_1 > 0$ ；默认 10
$C_2$	稀释后的目标浓度	目标浓度 C₂ (mol/L)	同 $C_1$	$0 < C_2 < C_1$ ；无默认值
$V_2$	稀释后的总体积（定容体积，不是加入的溶剂量）	最终体积 V₂ (mL)	同 $V_1$	$V_2 > V_1$ ；无默认值

面板上的单位标注是 mol/L 与 mL，但公式两边同类量相除，单位互相抵消：填 %、g/L、L 都行，只要左右一致。要加的溶剂量 $= V_2 - V_1$ （体积可加时）。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 稀释定律」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.chem-dilution）。打开时「原浓度 C₁」= 12、「取用体积 V₁」= 10 已填好，「目标浓度 C₂」与「最终体积 V₂」都带「计算」标记显示 120——这两个 120 不是结果：引擎在另一个未知量为空时按 1 兜底， $12 \times 10 / 1 = 120$ 。填入 $C_2$ 或 $V_2$ 之一后显示才有意义。
求最终体积（最常用）：填目标浓度 $C_2$ ，最终体积字段显示 $C_1 V_1 / C_2$ 。要加的溶剂 $= V_2 - V_1$ 。
求目标浓度清空 $C_2$ ，填最终体积 $V_2$ ，目标浓度字段显示 $C_1 V_1 / V_2$ 。
反解取用体积（配液最常见的反问）：清空「取用体积 V₁」，填 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $V_2$ ，字段显示 $C_2 V_2 / C_1$ ——要用移液管吸多少原液。
反解原浓度清空「原浓度 C₁」，填 $V_1$ 、 $C_2$ 、 $V_2$ ，字段显示 $C_2 V_2 / V_1$ ——已知稀释后浓度反推原液。
四个都填了字段全部显示为输入值，引擎不再计算，也不检查它们是否自相矛盾。要重算，清空想求的那个。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。 $C_2$ 填 0 时 $V_2$ 显示 ∞——稀释到零浓度需要无限体积。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 LaTeX C_1 V_1 = C_2 V_2 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 chem-dilution 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零，单位按 $C_1$ 、 $C_2$ 一致、 $V_1$ 、 $V_2$ 一致。

算例 1：12 mol/L 浓盐酸配 1 mol/L

输入： $C_1 = 12$ ， $V_1 = 10$ ， $C_2 = 1$ 。 $V_2 = 12 \times 10 / 1 = 120$ 。界面显示：最终体积 V₂ 120。10 mL 原液里有 $12 \times 0.010 = 0.12$ mol HCl，加水到 120 mL 后还是 0.12 mol， $0.12 / 0.120 = 1$ mol/L。要加的水是 $120 - 10 = 110$ mL，不是 120 mL—— $V_2$ 是总体积。

反过来核对：清空 $C_2$ ，填 $V_2 = 120$ ： $C_2 = 12 \times 10 / 120 = 1$ 。界面显示：目标浓度 C₂ 1。稀释倍数 $C_1/C_2 = V_2/V_1 = 12$ 。

图 1：算例 1。两边溶质的点数相同（24 个），只是被更多的水隔开——这就是 C₁V₁ = C₂V₂

算例 2：配液的反问——吸多少原液

反解取用体积：要配 250 mL 的 0.5 mol/L 盐酸，原液仍是 12 mol/L。清空 $V_1$ ，填 $C_1 = 12$ ， $C_2 = 0.5$ ， $V_2 = 250$ ： $V_1 = 0.5 \times 250 / 12 = 10.41666667$ 。界面显示：取用体积 V₁ 10.41666667——用 10 mL 移液管加不到，实验室会改用 25 mL 刻度移液管取 10.4 mL，或者干脆把目标改成 12 mol/L 整除的组合。

再一例：1 mol/L 储液配 500 mL 的 0.1 mol/L。清空 $V_1$ ，填 $C_1 = 1$ ， $C_2 = 0.1$ ， $V_2 = 500$ ： $V_1 = 50$ 。界面显示：50——吸 50 mL 储液进 500 mL 容量瓶，定容。稀释 10 倍。

反解原浓度：一份未知浓度的样品取 5 mL 稀释到 100 mL，测得 0.1 mol/L。清空 $C_1$ ，填 $V_1 = 5$ ， $C_2 = 0.1$ ， $V_2 = 100$ ： $C_1 = 0.1 \times 100 / 5 = 2$ 。界面显示：原浓度 C₁ 2。这是分析化学里最常见的用法：样品太浓仪器测不准，先稀释再测，最后乘回稀释倍数 20。

算例 3：逐级稀释——十倍、十倍、再十倍

微生物计数、酶活测定要把浓度降低几个数量级，一步吸 1 μL 到 10 L 不现实，于是逐级做。0.1 mol/L 的溶液取 1 mL 加稀释剂到 10 mL： $C_1 = 0.1$ ， $V_1 = 1$ ， $V_2 = 10$ ： $C_2 = 0.01$ 。界面显示：目标浓度 C₂ 0.01。把这 0.01 当作新的 $C_1$ ，再取 1 mL 到 10 mL： $C_1 = 0.01$ ， $V_1 = 1$ ， $V_2 = 10$ ：界面显示 0.001。每一级稀释 10 倍， $n$ 级后总稀释倍数 $10^n$ ；三级就是 1000 倍。

操作上每一级是「1 mL 样品 + 9 mL 稀释剂」——加入的稀释剂是 $V_2 - V_1 = 9$ ，不是 10。一级的移液误差会被后面每一级原样放大，所以每级都要用校准过的移液器。

算例 4：百分比也能用，以及两个「不能」

质量分数直接代入：5% 的含氯漂白剂要配成 0.5% 的消毒液，取 100 mL。 $C_1 = 5$ ， $V_1 = 100$ ， $C_2 = 0.5$ ： $V_2 = 1000$ 。界面显示：最终体积 V₂ 1000——100 mL 漂白剂兑水到 1 L，稀释 10 倍。单位是 %，公式不在乎。

95% 酒精配 70% 消毒酒精 500 mL：清空 $V_1$ ，填 $C_1 = 95$ ， $C_2 = 70$ ， $V_2 = 500$ ： $V_1 = 70 \times 500 / 95 = 368.42105263$ 。界面显示：取用体积 V₁ 368.42105263——量 368 mL 酒精，加水定容到 500 mL。这里不能用「加 132 mL 水」：乙醇与水混合体积收缩，368 + 132 得到的不到 500 mL，浓度会略高于 70%。

不能浓缩： $C_1 = 1$ ， $V_1 = 10$ ， $C_2 = 2$ ：引擎给出 $V_2 = 5$ 。界面显示 5——比取用体积还小。公式在代数上成立，物理上却要求「拿走 5 mL 水」，那是蒸发浓缩，不是稀释。目标浓度高于原液时，结果没有意义。

不能用于 pH：pH 1 的盐酸稀释 10 倍是 pH 2，不是「pH 10」。pH 是 $[\text{H}^+]$ 的负对数， $C_1 V_1 = C_2 V_2$ 只对与溶质量成正比的浓度成立；要先把 pH 换回 $[\text{H}^+] = 10^{-\text{pH}}$ ，稀释后再取对数。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把目标浓度改成 0.5、0.1、0.01 看最终体积按 240、1200、12000 mL 反比增长；把原浓度改成 37（质量分数）、目标 10，看百分比同样适用。

原理与推导

从「溶质不变」到 $C_1V_1 = C_2V_2$

浓度的定义是 $c = n/V$ （摩尔浓度），所以溶液里溶质的物质的量是 $n = cV$ 。稀释只是往里加溶剂：溶质一个分子都没多、也没少。于是稀释前 $n = C_1 V_1$ ，稀释后 $n = C_2 V_2$ ，两者相等——这就是全部推导。图 1 里两边各 24 个点，是这句话的图示。

因为等式两边是同一个 $n$ ，它对任何「量 = 浓度 × 体积」形式的浓度都成立：质量浓度（g/L × L = g）、质量分数（近似地，当溶液密度变化不大时）、ppm、活度单位/mL、菌落数/mL。这也是为什么面板标着 mol/L 与 mL，却可以填 % 和 L。

稀释倍数与反比例

把等式改写成 $C_2 / C_1 = V_1 / V_2$ ：浓度缩小的倍数等于体积放大的倍数。 $n$ 固定时 $C$ 与 $V$ 成反比例。「稀释 12 倍」「1 : 11 稀释」「12× 储液」说的都是 $V_2 / V_1 = 12$ ——注意「1 : 11」是 1 份原液加 11 份溶剂，总体积 12 份，与「1 : 12」（总 13 份）不同，实验记录里两种写法都有，用前要确认。

为什么是「定容」而不是「加多少水」

$V_2$ 是稀释后溶液的总体积。最可靠的做法是用容量瓶：先加原液，再加溶剂到刻度线，晃匀。这样 $V_2$ 就是容量瓶的标称容量，与体积是否可加无关。「加 $V_2 - V_1$ 的水」只有在体积可加时才等价——稀水溶液近似可加，乙醇与水、浓酸与水都不可加（算例 4 的酒精）。容量瓶按 20 °C 校准（ISO 1042），A 级 250 mL 瓶允差 ±0.15 mL；温度偏离 20 °C 每 10 °C 带来约 0.2% 的体积漂移。

逐级稀释的数学

$n$ 级各稀释 $d_i$ 倍，总倍数是乘积 $\prod d_i$ ；每级都是 10 倍时是 $10^n$ 。误差也按乘法传播：每级 1% 的相对误差，三级后约 3%。因此微生物计数里常用「两种不同级数的稀释各做平行」来互相校核。逐级稀释在细菌学中由科赫时代（19 世纪 80 年代）的固体培养基计数方法确立，至今仍是菌落计数的标准前处理。

一点历史

容量分析——用已知浓度的溶液按体积计量另一溶液——由盖-吕萨克在 1824 年前后系统建立，他也给「移液管」（pipette）、「滴定管」（burette）起了名字。有了准确的移液管和容量瓶，「取 $V_1$ 定容到 $V_2$ 」才成为可重复的操作， $C_1 V_1 = C_2 V_2$ 也才从代数恒等式变成实验室的日常工具。

假设

溶质守恒：稀释过程中溶质不挥发、不反应、不析出、不被容器吸附。
$V_2$ 是定容后的总体积：不是加入的溶剂体积。
浓度与溶质量成正比：mol/L、g/L、%、ppm 可以；pH、pKa 这类对数量不可以。
同类单位一致： $C_1$ 与 $C_2$ 同单位， $V_1$ 与 $V_2$ 同单位，面板上的 mol/L、mL 只是标注。
温度不变：体积按同一温度口径。
界面口径： $C_2$ 、 $V_2$ 都为空时两者显示 120（分母按 1 兜底）； $C_2 = 0$ 显示 ∞；四个都填时不计算也不校验。

适用范围与限制

能算: 四个量知三求一；任意正数；任何线性浓度单位；逐级稀释逐级代入。
只能近似: 以「加 $V_2 - V_1$ 溶剂」代替定容，在稀水溶液里误差很小，有机溶剂、浓酸碱不可如此；质量分数代入时隐含「溶液密度变化可忽略」。
不能算: 要加的溶剂量（手算 $V_2 - V_1$ ）；混合两种不同浓度溶液的结果（那是加权平均， $C = (C_1 V_1 + C_2 V_2)/(V_1 + V_2)$ ）；浓缩（ $C_2 > C_1$ 无意义）；pH 的稀释（先换回 $[\text{H}^+]$ ）；反应中消耗的溶质。
不做: 单位换算；安全判断。
数值: 8 位小数，去尾零。

常见误区

把 $V_2$ 当成要加的水：算例 1 要加 110 mL，不是 120（图 1）。
单位左右不一致： $V_1$ 填 mL、 $V_2$ 填 L 会差 1000 倍； $C_1$ 填 mol/L、 $C_2$ 填 % 结果无意义。同类量同单位即可。
以为面板只认 mol/L：% 、g/L、ppm 都能填，公式是比例式（算例 4）。
用公式「浓缩」： $C_2 > C_1$ 得到的 $V_2 < V_1$ 没有物理意义（算例 4）。
对 pH 用 C₁V₁：pH 是对数，稀释 10 倍 pH 变 1，不是变 10 倍。
有机溶剂按体积相加：乙醇加水体积收缩，要定容而不是加固定量的水（算例 4）。
把打开面板时的 120 当结果：那是分母兜底 1 造成的，填入 $C_2$ 或 $V_2$ 后才有效。
「1 : 10」的两种读法：1 + 9 还是 1 + 10，确认后再算。

典型使用场景

教学

溶质守恒到 $C_1V_1 = C_2V_2$ 的推导；稀释倍数与反比例；定容与体积不可加；pH 为什么不能直接稀释。

实验室配液

从商品浓酸碱、储液配工作液：反解取用体积；样品预稀释后反推原浓度；缓冲液从 10× 储液配 1×。

生物与微生物

逐级十倍稀释后菌落计数；酶、抗体、DNA 的梯度稀释；细胞悬液调整到目标密度（个/mL 同样适用）。

日常与消毒

漂白剂、消毒液、农药、清洁剂按标签百分比稀释；酒精从 95% 配 70%–75%。

常见问题

为什么打开面板时目标浓度和最终体积都是 120？

两个未知量都为空时，引擎把另一个未知量按 1 兜底， $12 \times 10 / 1 = 120$ 。填入 $C_2$ 或 $V_2$ 任一个，另一个才是真正的结果。

要加多少水？

$V_2 - V_1$ 。算例 1 是 $120 - 10 = 110$ mL。面板只给总体积。

浓度单位一定要是 mol/L 吗？体积一定要 mL 吗？

不一定。 $C_1$ 与 $C_2$ 同单位、 $V_1$ 与 $V_2$ 同单位就行，%、g/L、ppm、L 都可以。

目标浓度比原液高怎么办？

稀释做不到，公式给出的 $V_2 < V_1$ 没有意义。要浓缩得蒸发溶剂或重新配制。

pH 2 的酸稀释 100 倍 pH 是多少？

约 pH 4。 $[\text{H}^+]$ 从 $10^{-2}$ 变为 $10^{-4}$ 。不能把 pH 值代进 $C_1V_1 = C_2V_2$ 。

为什么强调「定容」？

体积不一定可加：乙醇加水会收缩，浓酸加水会放热膨胀。用容量瓶加溶剂到刻度线， $V_2$ 才准确。

两种浓度的溶液混在一起怎么算？

那不是稀释，是混合： $C = (C_1V_1 + C_2V_2)/(V_1 + V_2)$ ，手算。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulasScience.ts 中的 chem-dilution 定义（compute(known, solveFor) 对 V₂ / C₂ / V₁ / C₁ 四向求解，分母为空时按 1 兜底）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Dilution (equation)（访问日期：2026-09-09）—— $C_1V_1 = C_2V_2$ 的推导、稀释倍数与适用条件。
Wikipedia, Serial dilution（访问日期：2026-09-09）——逐级稀释的倍数、误差传播与微生物计数中的用法。
Wikipedia, Volumetric flask（访问日期：2026-09-09）——定容操作、A/B 级允差与 20 °C 校准。
Wikipedia, Titration（访问日期：2026-09-09）——盖-吕萨克 1824 年建立容量分析并命名移液管、滴定管的历史。
Wikipedia, Sulfuric acid（访问日期：2026-09-09）——浓酸稀释放热与「酸入水」的安全依据。
ISO 1042:1998, Laboratory glassware — One-mark volumetric flasks——单标线容量瓶的容量允差与 20 °C 参考温度。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09

Wikipedia: Dilution (equation)（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Serial dilution（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Volumetric flask（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Titration — History（Gay-Lussac 1824 年的容量分析）（访问日期：2026-09-09）
Wikipedia: Sulfuric acid — Safety（浓酸稀释放热与「酸入水」）（访问日期：2026-09-09）
ISO 1042:1998 Laboratory glassware — One-mark volumetric flasks（单标线容量瓶的容量允差与 20 °C 校准温度）