如何运行每种模式
- 01多项式:从高到低输入系数,以逗号分隔——
1, -6, 11, -6 就是 x³ − 6x² + 11x − 6——然后按 Solve。 - 02方程组:设置规模(2–6),填写 [A|b] 网格或从工作区选择矩阵变量,然后按 Solve。
- 03求根:输入关于 x 的表达式、区间 a < b,按 Solve;结果列出 x₁ ≈ …,每个都带 |f(x)|,当根是偶数重接触点时给出一行警告。
- 04读取判定。2 次多项式打印 Δ 和两个根;更高次数以伴随矩阵特征值返回,并注明方法为近似。
- 05把答案移交出去,作为向量送往工作区、报告区块或其他接受向量的面板。
算例
| 模式 · 输入 |
读数 |
多项式 1, -6, 11, -6 |
x1 = 1.00000000,x2 = 2.00000000,x3 = 3.00000000 |
多项式 1, 1e8, 1 |
x₁ = −100000000,x₂ = −1e-8,Δ = 9999999999999996 |
多项式 1, 0, 1 |
x₁ = 0.000000+1.000000i,x₂ = 0.000000-1.000000i |
| 方程组 3×3,[A|b] 行 2 1 −1 8;−3 −1 2 −11;−2 1 2 −3 |
x1 = 2.00000000,x2 = 3.00000000,x3 = −1.00000000 |
求根 x^2 - 4,[−10, 10] |
x1 ≈ −2,x2 ≈ 2,各自 |f(x)| = 0.00e+0 |
求根 sin(x),[−10, 10] |
从 x1 ≈ −9.424777961 到 x7 ≈ 9.424777961 共 7 个根 |
三次多项式分解为 (x−1)(x−2)(x−3),特征值精确落在整数上,到八位小数。3×3 方程组满足全部三行:2·2 + 3 − (−1) = 8,−6 − 3 + 2·(−1) = −11,−4 + 3 + 2·(−1) = −3。
为什么小根是对的
对 x² + 10⁸·x + 1,两个根相差八个数量级,教科书公式因相消损失了小根的大部分:直接计算 (−b + √Δ)/2a 得到 −7.45058e-9,与真实的 −10⁻⁸ 相差约 25.5 %。面板选择避免减法的分支——q = −(b + sign(b)·√Δ)/2——再用韦达关系 c/q 恢复另一个根,因此打印 −1e-8。Δ 行仍显示看似精确的 9999999999999996,即 10¹⁶ − 4 的双精度值。
限制
- 次数 ≥ 3 是数值的。
- 高次多项式的根来自伴随矩阵特征值,并标为近似;预期是 1.00000000 风格的输出,而不是符号形式。首项系数必须非零,每个系数都必须能解析为数。
- 求根模式扫描有限区间。
- 若 [a, b] 内不存在穿越,它会如实说明而不是猜测;极点的符号变化被排除,偶数重接触点会被标注。
- 不做的事。
- 它不解不等式、未知数超过六个的方程组或带参数的符号方程,也不显示推导过程——把方程带到分步推导做因式分解、配方和代入校验,或到矩阵工具求系数矩阵的秩和行列式。
相消陷阱
输入 1, 1e8, 1,面板回答 x₂ = −1e-8。同一个二次方程用朴素公式在纸上或电子表格里求解得到 −7.45e-9——仍接近零,但根的相对误差达 25 %。这个教训可以推广:当系数相差许多数量级时,显示的根之所以可信,只是因为面板重排了代数;不要用教科书表达式手工复现它。
适用于何处
检查拟合或设计方程
标定多项式或特征方程可以作为系数粘贴,逐根检查。1, 0, 1 给出的复根对表明不存在实根,因此实值设计表没有可找的解。
求解小型平衡系统
三节点网络、平衡方程和网孔电流可归约为 2×2–6×6 方程组;增广网格直接接受它们,工作区矩阵一键即可选取。LU 求解打印八位小数,足以核对手算。
隐私
三个求解器都在你的浏览器中本地运行;系数、矩阵和区间从不上传。
本页计算器
精选工具,点开即用;小工具可直接试算,数值会带入完整计算器。