概率分布:泊松、几何、F 与 χ²

七个分布族共享统计工作台的一个页面:正态、二项、泊松、几何、Student t、χ² 和 F。每个标签页绘制密度曲线或概率条,然后在你给定的 x(或 k)处回答四个问题:点值(PDF 或 PMF)、累积概率、尾部——连续族为 P(X > x),离散族为 P(X ≥ k)——以及有均值和方差的族的这两个值。单独的逆算字段把概率转回分位数。参数字段随分布族重新加载,因此从正态(μ, σ)切到 F(d1, d2)绝不会混用数值。

更新 2026-10-015 个来源约 3 分钟读完

本文是草稿,尚未经过复核。

如何阅读

选择分布族——参数字段及其默认值跟随标签页。
输入 x 或 k,读取密度/质量、CDF 和尾部卡片。
设置逆算 p。分位数卡片返回 CDF 达到 p 的值;对离散族来说就是最小的整数 k。
把数值移交出去。分位数或点值可以发送到检验页面或发布为卡片。

算例

分布族 · 输入	读数
泊松 · λ = 4,k = 6	PMF 0.104196,CDF 0.889326,P(X ≥ 6) 0.21487;p = 0.95 的分位数 → 8
几何 · p = 0.3,k = 3	PMF 0.147,CDF 0.657,P(X ≥ 3) 0.49;均值 3.33333,方差 7.77778
F · d1 = 5,d2 = 10,x = 2	PDF 0.162006,CDF 0.835805,右尾 0.164195;第 95 百分位数 3.32583
χ² · df = 10,x = 2	PDF 0.00766416,CDF 0.00365985,右尾 0.99634;第 95 百分位数 18.307
二项 · n = 20,p = 0.5,k = 12	PMF 0.120134,CDF 0.868412,P(X ≥ 12) 0.251722;均值 10,方差 5

泊松分位数是逐级移动的,并不平滑:CDF(7) 为 0.948866,CDF(8) 为 0.978637,因此 p = 0.95 落在 8。

需要记住的限制

每张卡片六位有效数字。: 数值显示得很短;分位数也按同样方式舍入。
离散分位数是台阶,不是插值。: 答案是 CDF 达到 p 的最小整数,可能离 p × 支撑集的猜测很远。
不做的事。: 它既不为样本拟合参数,也不抽取随机值:不做估计、不做拟合优度、不做模拟。关于样本的推断在检验页面;寿命分布拟合在应用统计。

几何标签页数的是试验次数

几何族采用试验序号约定:X 是产生首次成功的试验编号,因此 X ≥ 1,PMF(0) 读作 0,p = 0.3 时第三次试验承载 P(X = 3) = 0.147。在另一种常见读法——首次成功前的失败次数——下,同一事件是 k = 2,概率为 0.147;而按试验序号读法,k = 2(第 2 次试验成功)的概率为 0.21。中位数从 2 次试验变为 1 次失败。两种约定都是标准的;这个标签页上的每个数字都采用试验序号约定。当来源没有说明用的是哪种约定时,均值 3.33333 和方差 7.77778 就是交叉核对。

适用场景

为突发流量定容

每区间 λ = 4 个到达时,P(X ≥ 6) = 0.21487:大约每五个区间就有一个承载六个或更多。第 95 百分位数 8 是要预备的水平,改变 λ 可以看出在容量固定之前尾部移动得有多快。

抽取表格用的临界值

逆算字段就像一张小型临界值表:F(5, 10) 的第 95 百分位数是 3.32583,χ²(10) 是 18.307。检验页面走相反方向,把统计量变成 p 值。

参考文献

NIST/SEMATECH,e-Handbook of Statistical Methods,§1.3.6 Probability Distributions,itl.nist.gov （访问日期：2026-10-01）— 分布族、尾部与临界区域。
维基百科,Poisson distribution,en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 到达与 λ 的均值/方差。
维基百科,Geometric distribution,en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 两种支撑集约定。
维基百科,F-distribution,en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— ANOVA 背后的 d1、d2 比值族。
维基百科,Chi-squared distribution,en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 拟合优度背后的 df 族。