回归计算器：线性、二次与曲线拟合

回归面板把一个预测变量拟合到 x, y 数据对。九个模型族一键切换——线性、二次、三次、四次、对数、指数、幂、正弦和 logistic——页面立即重绘：散点图与拟合曲线、方程、R²、Pearson r、Spearman ρ，以及在你选定的 x 处的 ŷ。输出是一条曲线和一个点预测，不是带标准误的推断表。

更新 2026-10-015 个来源约 3 分钟读完

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如何拟合一次

粘贴数据对，每行一对 x, y；逗号或空格分隔两个数字。
点击一个模型族。方程卡片和三张系数卡片随即更新，图表重绘。
设置预测 x，从强调卡片读取 ŷ。
把它带走。方程可导出为 math.js 表达式供数据工作区使用，系数表列出每个拟合参数。

算例

三段粘贴，三个不同的任务，同一个面板：

对称的 U。 1, 10、2, 5、3, 2、4, 1、5, 2、6, 5、7, 10 按二次拟合读出 y = x^2 − 8x + 17，R² = 1；在 x = 8 处 ŷ = 17。同样的点上，线性卡片显示 R² = 0，Pearson r 和 Spearman ρ 都读作 0。
增长数据。 0, 2、1, 2.7、2, 3.6、3, 4.9、4, 6.6、5, 8.9 按指数拟合读出 y = 1.9968·e^(0.29869x)，R² = 0.99997；线性替代为 y = 1.3571x + 1.3905，R² = 0.95507。在 x = 6 处指数预测 11.9856，直线为 9.53333。
幂律。 1, 2、2, 8、3, 18、4, 32、5, 50 按幂拟合读出 y = 2·x^2，R² = 1，而 Pearson r 只有 0.9811——数据在 x 上恰好是二次的，不是线性的。

需要记住的局限

只做拟合，不做推断。: 没有参数标准误、p 值、置信区间或预测带；ŷ 是一个点。
定义域守卫会丢弃数据行。: 对数要求 x > 0，指数要求 y > 0，幂要求两者都为正——定义域外的数据对会被排除，因此拟合可能只基于你粘贴的部分点。正弦至少需要五个点；logistic 需要 y > 0。
它不做什么。: 一个预测变量、一次一个拟合：没有多元回归、没有交互项、没有残差诊断、没有模型比较表。带滚动回测的时间序列外推请用预测实验室；同一数据的摘要与假设检验见描述统计、检验和统计工作台。

完美曲线可以读出 r = 0

在 U 形算例中，二次 R² 为 1——曲线穿过全部七个点——而 Pearson r 和 Spearman ρ 都读作 0。它们并不与 R² 矛盾：Pearson r 只衡量线性共变，而这个点云关于中心对称；Spearman ρ 崩塌是因为每个 y 值的秩在中部并列。判读规则很简单：r 回答“有多直”，R² 回答“所选曲线解释 y 的程度有多高”。r 接近零而图上可见结构，是换模型族的提示，而不是“没有关系”的结论。

适用场景

在直线和曲线之间选择

对增长数据，指数 R² 0.99997 胜过线性 0.95507，x = 6 处的预测相差超过两个单位（11.9856 对 9.53333）。写下任何数字之前，先在同一段粘贴上比较候选模型族。

把拟合变成可复用的表达式

方程卡片导出 math.js 字符串——上面的幂拟合导出 2*x^2，二次拟合导出 17 - 8*x + 1*x^2——数据工作区把它存为变量，科学计算器可在新的 x 处求值。

参考文献

Wikipedia，Polynomial regression，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——四个多项式族背后的最小二乘多项式。
Wikipedia，Coefficient of determination，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——R² 衡量什么、不衡量什么。
Wikipedia，Pearson correlation coefficient，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——仅线性共变。
Wikipedia，Spearman's rank correlation coefficient，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——秩相关以及并列对它的影响。
Wikipedia，Curve fitting，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——拟合与预测的框架。