Einen Modus ausführen 01 Modus wählen Sie in der Tab-Leiste und füllen Sie die Felder aus; reine Ganzzahleingaben werden geprüft, bevor eine Berechnung startet. 02 Primzahl: Geben Sie eine Ganzzahl ein, drücken Sie auf Berechnen und lesen Sie das Urteil samt benachbarten Primzahlen. 03 Faktor: Das Ergebnis ist n = Produkt der Primzahlpotenzen, gefolgt von allen Teilern in aufsteigender Reihenfolge. 04 Modular: a und n liefern a mod n, a⁻¹ mod n wenn gcd(a, n) = 1, φ(n) und a^φ(n) mod n, wenn n ≤ 10¹². 05 CRT: ein Paar „Rest, Modul“ pro Zeile; die Antwort ist das kleinste nichtnegative x und der kombinierte Modul. 06 RSA / Crypto: p und q müssen die Primzahltests bestehen; die Nachricht muss kleiner als n sein; Roundtrip und Bézout-Identität werden zur Prüfung ausgegeben. Durchgerechnete Ausgaben
Modus · Eingabe
Ausgabe
Primzahl · 561
561 ist NICHT prim ✗ ; Vorherige Primzahl 557 ; Nächste Primzahl 563
Faktor · 360
360 = 2^3 × 3^2 × 5 ; Teiler (24 ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … 360
Modular · a 17, n 5
17 mod 5 = 2 ; Modulares Inverses 3 ; φ(5) = 4 ; 17^φ(5) mod 5 = 1
Modular · a 14, n 21
Modulares Inverses keins (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1)
Basis · 255, 10 → 16
Dez 255 ; Bin 11111111 ; Okt 377 ; Hex FF
φ(n) · 100
φ(100) = 40 ; Primzahl Nein ; Faktoren 2 × 2 × 5 × 5
RSA · p 61, q 53, msg 42
n 3233 , φ 3120 , e 7 , d 1783 ; Verschlüsseln 42^7 mod 3233 = 240 ; Entschlüsseln 240^1783 mod 3233 = 42 ; Roundtrip stimmt ✓
BigInt Crypto · a 123456789012345678901234567890, b 65537, m 998244353
gcd 1 ; Bézout a·(−30199) + b·(56888041432836827397323385503) = 1 ; a^b mod m = 825377327
CRT · 2,3 / 3,5 / 2,7
Allgemeine Lösung x = 23 + 105·k
Die Modular-Zeile ist der kleine Fermatsche Satz in einer Zeile: φ(5) = 4 und 17⁴ mod 5 = 1 . Die CRT-Zeile geht in allen drei Proben auf — 23 mod 3 = 2 , 23 mod 5 = 3 , 23 mod 7 = 2 — und der RSA-Roundtrip liefert die ursprüngliche Nachricht 42 zurück; genau dafür werden beide Richtungen ausgegeben.
Warum 561 der interessante Test ist 561 = 3 × 11 × 17 ist eine Carmichael-Zahl: Sie erfüllt a^560 ≡ 1 (mod 561) für jedes zu ihr teilerfremde a, weshalb ein naiver Fermat-Test sie für prim hält. Das Panel verwendet Miller–Rabin mit festem Basissatz, der die zusammengesetzte Zahl erkennt und NICHT prim ausgibt, während die benachbarten Primzahlen 557 und 563 zurückkommen. Dieselbe Prüfung sichert RSA ab: p und q werden abgelehnt, bevor ein Schlüssel gebaut wird, wenn eine der beiden scheitert, und e wird per gcd teilerfremd zu φ(n) gewählt, nicht über einen Modulo-Test.
Grenzen
Die Probedivision hat eine Obergrenze. Faktorisierung und φ(n) per Probedivision verweigern n über 2⁵³ − 1 bzw. φ(n) über 10¹², statt falsch zu faktorisieren; der BigInt-Crypto-Tab verarbeitet Primzahltests und modulare Potenzen weiterhin für größere Eingaben.
RSA ist eine Lehr-Demo. p und q sind auf 50 Stellen begrenzt, die Nachricht muss kleiner als n sein, und das Panel behauptet nie Sicherheit — es dient der Prüfung der Arithmetik, nicht der Schlüsselerzeugung. Was es nicht tut. Es faktorisiert keine Semiprimzahlen kryptografischer Größe, führt keine Verfahren über elliptische Kurven oder nach Pollard aus und berechnet keine diskreten Logarithmen; für exakte Brüche, ggT und kgV nutzen Sie den Arithmetik-Tab von Schritt für Schritt , für Wurzelsuche und lineare Systeme Gleichungen und für statistische Stichproben über Ganzzahlen Statistik . Die Teilerfremdheits-Falle Ein modulares Inverses existiert nur, wenn gcd(a, n) = 1 gilt. Geben Sie a = 14, n = 21 ein, antwortet das Panel keins (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1) statt mit einer Zahl, die nicht wieder zu 1 multipliziert. Dieselbe Absicherung erklärt das RSA-Feld: e = 65537 wird ersetzt, wenn es nicht teilerfremd zu φ(n) ist — für p 61, q 53 landet das Panel bei e = 7 und d = 1783 , und 7 × 1783 = 12481 ≡ 1 (mod 3120).
Wofür es nützlich ist Hausaufgaben prüfen ohne Rechner-Stack Primzahl-, Faktor- und Teilerlisten beantworten die meisten elementaren Übungsaufgaben zur Zahlentheorie in einem Durchgang; die Zeilen für vorherige/nächste Primzahl machen Primzahllücken-Aufgaben schnell, und die Basisumrechnung deckt den Bereich 2–36 ab.
Verstehen, warum Kryptografie mehr als eine Demo braucht Der RSA-Tab zeigt jeden Schritt — n, φ, e, d, beide modularen Potenzen — und die Roundtrip-Zeile ist der Korrektheitsbeweis. Der BigInt-Tab zeigt dann, dass dieselben Primitive bis zu 30-stellige Eingaben skalieren: Die Bézout-Identität liefert weiterhin 1 und a^b mod m ist exakt, während die Faktorisierung des Moduls genau das Problem ist, dessen Lösung das Panel nicht vortäuscht.
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Quellen
Wikipedia, Miller–Rabin primality test , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— deterministische Basissätze und wahrscheinliche Primzahlen.
Wikipedia, Carmichael number , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— zusammengesetzte Zahlen, die Fermat-Tests täuschen.
Wikipedia, Modular multiplicative inverse , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— Existenz genau dann, wenn gcd = 1.
Wikipedia, Chinese remainder theorem , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— Systeme mit teilerfremden und nicht teilerfremden Moduln.
Wikipedia, RSA (cryptosystem) , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— Schlüsselerzeugung und die Beziehung e·d ≡ 1.
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Sources & review
Updated 2026-10-07