モードの実行方法
- 01タブ列からモードを選び、各フィールドを入力します。整数のみの入力は計算の前に検証されます。
- 02素数:整数を入力して「計算」を押すと、判定と前後の素数が表示されます。
- 03因数分解:結果は n = 素数のべき乗の積で、続いてすべての約数が昇順に並びます。
- 04合同式:a と n から a mod n、gcd(a, n) = 1 のとき a⁻¹ mod n、φ(n)、n ≤ 10¹² のとき a^φ(n) mod n が求まります。
- 05CRT:1行につき「余り, 法」の組を1つ。答えは最小の非負 x と合成された法です。
- 06RSA / Crypto:p と q は素数判定を通過する必要があり、メッセージは n より小さい必要があります。往復とベズーの等式が検証用に出力されます。
計算例
| モード · 入力 |
読み出し |
| 素数 · 561 |
561 は素数ではない ✗、前の素数 557、次の素数 563 |
| 因数分解 · 360 |
360 = 2^3 × 3^2 × 5、約数（24 個）: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … 360 |
| 合同式 · a 17, n 5 |
17 mod 5 = 2、モジュラー逆元 3、φ(5) = 4、17^φ(5) mod 5 = 1 |
| 合同式 · a 14, n 21 |
モジュラー逆元 なし (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1) |
| 基数 · 255, 10 → 16 |
10進 255、2進 11111111、8進 377、16進 FF |
| φ(n) · 100 |
φ(100) = 40、素数 いいえ、因数 2 × 2 × 5 × 5 |
| RSA · p 61, q 53, msg 42 |
n 3233、φ 3120、e 7、d 1783。暗号化 42^7 mod 3233 = 240、復号 240^1783 mod 3233 = 42、往復一致 ✓ |
| BigInt Crypto · a 123456789012345678901234567890, b 65537, m 998244353 |
gcd 1、ベズー a·(−30199) + b·(56888041432836827397323385503) = 1、a^b mod m = 825377327 |
| CRT · 2,3 / 3,5 / 2,7 |
一般解 x = 23 + 105·k |
合同式の行はフェルマーの小定理を1行にしたものです。φ(5) = 4 で、17⁴ mod 5 = 1。CRT の行は3通りで検算できます — 23 mod 3 = 2、23 mod 5 = 3、23 mod 7 = 2 — そして RSA の往復は元のメッセージ 42 を返します。両方向を出力するのはそのためです。
561 が興味深いテストである理由
561 = 3 × 11 × 17 はカーマイケル数です。自分と互いに素なすべての a について a^560 ≡ 1 (mod 561) を満たすため、素朴なフェルマー判定では素数と誤判定されます。パネルは固定の底集合による Miller–Rabin を使い、合成数を検出して 素数ではない と出力します。一方、前後の素数は 557 と 563 として返ります。同じ検査が RSA も守ります。p と q のどちらかが失敗すると鍵を作る前に拒否され、e は剰余判定ではなく gcd によって φ(n) と互いに素な値が選ばれます。
制限
- 試し割りには上限があります。
- 試し割りによる因数分解と φ(n) は、誤った因数分解をする代わりに、n が 2⁵³ − 1 を超える場合や φ(n) が 10¹² を超える場合を拒否します。BigInt Crypto タブはより大きな入力でも素数判定とモジュラーべき乗を扱えます。
- RSA は学習用のデモです。
- p と q は50桁までに制限され、メッセージは n より小さい必要があり、パネルは安全性を一切主張しません — 算術の確認用であり、鍵生成用ではありません。
- できないこと。
- 暗号サイズの半素数を因数分解したり、楕円曲線法やポラード法を実行したり、離散対数を計算したりしません。厳密な分数・gcd・lcm にはステップ実行の算術タブ、根の探索と連立方程式には方程式、整数上の統計的サンプリングには統計を使います。
互いに素の落とし穴
モジュラー逆元は gcd(a, n) = 1 のときにだけ存在します。a = 14、n = 21 を入力すると、パネルは1に戻らない数を返す代わりに なし (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1) と答えます。同じ保護が RSA のフィールドにも働き、e = 65537 は φ(n) と互いに素でないとき差し替えられます — p 61、q 53 ではパネルは e = 7、d = 1783 に落ち着き、7 × 1783 = 12481 ≡ 1 (mod 3120) です。
役立つ場面
電卓を積み上げずに宿題を確認する
素数・因数・約数の一覧は、初等整数論のほとんどの演習問題に一度で答えます。前後の素数の行は素数の間隔に関する問題を手早くし、基数変換は 2–36 の範囲をカバーします。
暗号がなぜデモ以上のものを要するかを学ぶ
RSA タブはすべてのステップ — n、φ、e、d、両方のモジュラーべき乗 — を示し、往復の行が正しさの証明になります。BigInt タブは同じプリミティブが30桁の入力まで拡張できることを示します。ベズーの等式は依然として 1 を返し a^b mod m は正確ですが、法の因数分解はまさにパネルが解けたふりをしない問題です。
プライバシー
すべての整数演算はブラウザー内で実行され、入力した内容はどこにも送信されません。
参考文献
- Wikipedia, Miller–Rabin primality test, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 決定的な底集合と確率的素数。
- Wikipedia, Carmichael number, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— フェルマー判定を欺く合成数。
- Wikipedia, Modular multiplicative inverse, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— gcd = 1 のとき、かつそのときに限り存在。
- Wikipedia, Chinese remainder theorem, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 互いに素な法とそうでない法の連立合同式。
- Wikipedia, RSA (cryptosystem), en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— 鍵生成と e·d ≡ 1 の関係。
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Sources & review
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