Como executar um modo 01 Escolha um modo na linha de abas e preencha os campos; entradas apenas inteiras são validadas antes de qualquer operação. 02 Primo: informe um inteiro, pressione Calcular e leia o veredito junto com os primos vizinhos. 03 Fator: o resultado é n = produto de potências de primos, seguido de todos os divisores em ordem crescente. 04 Modular: a e n fornecem a mod n, a⁻¹ mod n quando gcd(a, n) = 1, φ(n) e a^φ(n) mod n quando n ≤ 10¹². 05 CRT: um par «resto, módulo» por linha; a resposta é o menor x não negativo e o módulo combinado. 06 RSA / Crypto: p e q precisam passar nos testes de primalidade; a mensagem deve ser menor que n; a ida e volta e a identidade de Bézout são impressas para verificação. Leituras resolvidas
Modo · entrada
Leitura
Primo · 561
561 NÃO é primo ✗ ; Primo anterior 557 ; Próximo primo 563
Fator · 360
360 = 2^3 × 3^2 × 5 ; Divisores (24 ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … 360
Modular · a 17, n 5
17 mod 5 = 2 ; Inverso modular 3 ; φ(5) = 4 ; 17^φ(5) mod 5 = 1
Modular · a 14, n 21
Inverso modular nenhum (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1)
Base · 255, 10 → 16
Dec 255 ; Bin 11111111 ; Oct 377 ; Hex FF
φ(n) · 100
φ(100) = 40 ; Primo Não ; Fatores 2 × 2 × 5 × 5
RSA · p 61, q 53, msg 42
n 3233 , φ 3120 , e 7 , d 1783 ; Cifrar 42^7 mod 3233 = 240 ; Decifrar 240^1783 mod 3233 = 42 ; a ida e volta confere ✓
BigInt Crypto · a 123456789012345678901234567890, b 65537, m 998244353
gcd 1 ; Bézout a·(−30199) + b·(56888041432836827397323385503) = 1 ; a^b mod m = 825377327
CRT · 2,3 / 3,5 / 2,7
Solução geral x = 23 + 105·k
A linha Modular é o pequeno teorema de Fermat em uma linha: φ(5) = 4 e 17⁴ mod 5 = 1 . A linha CRT confere de três maneiras — 23 mod 3 = 2 , 23 mod 5 = 3 , 23 mod 7 = 2 — e a ida e volta do RSA devolve a mensagem original 42 , que é o motivo de imprimir as duas direções.
Por que 561 é o teste interessante 561 = 3 × 11 × 17 é um número de Carmichael: satisfaz a^560 ≡ 1 (mod 561) para todo a coprimo com ele, então um teste de Fermat ingênuo o chama de primo. O painel usa Miller–Rabin com um conjunto fixo de bases, que detecta o composto e imprime NÃO primo , enquanto os primos vizinhos retornam como 557 e 563 . A mesma verificação protege o RSA: p e q são rejeitados antes de qualquer chave ser construída se um deles falhar, e e é escolhido coprimo com φ(n) por gcd, não por um teste de módulo.
Limites
A divisão por tentativa tem teto. A fatoração e φ(n) por divisão por tentativa recusam n acima de 2⁵³ − 1 e φ(n) acima de 10¹² em vez de fatorar errado; a aba BigInt Crypto continua tratando primalidade e potências modulares para entradas maiores.
RSA é uma demonstração didática. p e q são limitados a 50 dígitos, a mensagem deve ser menor que n, e o painel nunca alega segurança — serve para conferir a aritmética, não para gerar chaves. O que ele não faz. Não fatora semiprimos de tamanho criptográfico, não executa métodos de curva elíptica ou de Pollard, nem calcula logaritmos discretos; para frações exatas, gcd e lcm use a aba de aritmética do passo a passo , para buscas de raízes e sistemas lineares use equações , e para amostragem estatística sobre inteiros use estatística . A armadilha dos coprimos Um inverso modular só existe quando gcd(a, n) = 1. Informe a = 14, n = 21 e o painel responde nenhum (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1) em vez de um número que não voltaria a 1 por multiplicação. A mesma proteção explica o campo do RSA: e = 65537 é substituído quando não é coprimo com φ(n) — para p 61, q 53 o painel fica com e = 7 e d = 1783 , e 7 × 1783 = 12481 ≡ 1 (mod 3120).
Onde ele é útil Conferir deveres sem uma pilha de calculadoras Listas de primos, fatores e divisores respondem à maioria dos exercícios elementares de teoria dos números em uma passada; as linhas de primo anterior/seguinte agilizam perguntas sobre lacunas entre primos, e a conversão de base cobre a faixa 2–36.
Entender por que a criptografia precisa de mais que uma demo A aba RSA mostra cada passo — n, φ, e, d, ambas as potências modulares — e a linha de ida e volta é a prova de correção. A aba BigInt mostra então que as mesmas primitivas escalam para entradas de 30 dígitos: a identidade de Bézout continua devolvendo 1 e a^b mod m é exato, enquanto fatorar o módulo é exatamente o problema cuja solução o painel não finge resolver.
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Referências
Wikipédia, Miller–Rabin primality test , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— conjuntos determinísticos de bases e prováveis primos.
Wikipédia, Carmichael number , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— compostos que enganam os testes de Fermat.
Wikipédia, Modular multiplicative inverse , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— existência se e somente se gcd = 1.
Wikipédia, Chinese remainder theorem , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— sistemas com módulos coprimos e não coprimos.
Wikipédia, RSA (cryptosystem) , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— geração de chaves e a relação e·d ≡ 1.
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Sources & review
Updated 2026-10-07