如何设计数字回路
- 01输入对象。选一个预设——
1/(s+1)、1/(s(s+1))、1/(s²+0.6s+1)、1/(s+1)³——或输入系数；State Space 标签页显示其他标签页使用的实现。 - 02查看采样建议。Discretise 标签页报告最快极点幅值、Nyquist 极限和建议采样时间，并在 dt 对现有极点太慢时警告。
- 03选择离散化方法。采样数据实现用 ZOH，双线性近似用 Tustin，教学对比用 Euler 变体，模态匹配用 matched pole-zero。
- 04配置极点，再与 LQR 比较。Pole Placement 接受期望极点列表，LQR 接受 Q 和 R。决定前比较两者的闭环特征值。
- 05整定并评估。Tuning 标签页从阶跃响应估计一阶加纯滞后模型，并报告每组规则的超调、上升时间和整定时间。
计算读数
| 输入 |
读数 |
对象 1/(s(s+1))，Discretise ZOH，dt = 0.1 s |
H(z) 分子 0.00483742, 0.00467884；分母 1, −1.90483742, 0.90483742；采样建议推荐 0.0667 s，且未把 dt = 0.1 标记为太慢 |
对象 1/(s+1)，ZOH 与 Tustin，dt = 0.1 s |
ZOH：0.09516258 / (z − 0.90483742)；Tustin：0.04761905(z + 1) / (z − 0.9047619)；ZOH 极点恰为 e^(−0.1) = 0.904837 |
对象 1/(s²+0.6s+1)，Pole Placement 于 −2, −3 |
K = [4.4, 5.0]，闭环特征值 −2, −3，配置误差 0 |
| 同一对象，LQR 取 Q = I, R = 1 |
K = [0.879333, 0.414214]，闭环特征值 −0.73967 ± 0.93119j，7 次迭代后 Riccati 残差 0 |
对象 1/((s+1)(s+2)(s+3))，Tuning |
极限增益 60.0001，周期 1.8945 s；ZN PID (36.000, 38.006, 8.525) 超调 44.9441 %；IMC λ = 1 (6.049, 3.689, 1.533) 超调 0 % |
对象 1/(s(s+1))，闭环，K = 1 |
相位裕度 51.8273°，0.78615 rad/s，增益裕度可证明无穷；阶跃超调 16.3033 %，整定 8.08 s |
离散化实际做什么
z 域映射是 z = e^(sT)，所以 T = 0.1 s 时稳定的连续极点 s = −1 落到 z = 0.904837——正是 1/(s+1) 一行所示。零阶保持器在边界处对连续响应采样，精确匹配阶跃响应；Tustin 代入 s = (2/T)·(z−1)/(z+1)，把整个左半平面映射到单位圆内，但不做预畸变就会扭曲频率；matched pole-zero 把每个极点放到 e^(sT) 并匹配增益。前向 Euler 映射 s = (z−1)/T，T 过大时可能把快极点推出圆外；后向 Euler 总让稳定极点保持稳定，代价是额外失真。采样建议概括了规则：dt 低于约 1/(15·ω<sub>max</sub>) 比较舒适，超过 1/(5·ω<sub>max</sub>) 会被标记。
随后打开两条设计路线。极点配置直接选择闭环动态：对 1/(s²+0.6s+1)，增益 [4.4, 5.0] 把两个特征值移到 −2 和 −3，残差误差为零，因为 Ackermann 公式对可控单输入系统是精确的。LQR 通过最小化二次代价替你选择动态；在相同惩罚下返回 [0.879333, 0.414214] 和 −0.74 ± 0.93j 的复共轭对——极点比配置慢，但有保证的裕度，也不必编造极点列表。两个增益都作用于 State Space 标签页的可控标准型 A = [[−0.6, −1], [1, 0]]、B = [1, 0]ᵀ，其状态排序为 x₁ = ẏ、x₂ = y，因此 K 乘以 [ẏ, y]ᵀ；把顺序反过来写成 [y, ẏ] 时，同样的增益读作 [5.0, 4.4] 和 [0.414214, 0.879333]。Tuning 覆盖工业捷径：读极限增益和周期，套用规则，再用仿真判断。Ziegler–Nichols 很激进——三阶对象上超调 44.9 %——而 λ = 1 的 IMC 平滑、超调 0 %，但上升要 2.66 s 而不是 0.43 s。
限制与边界
- 单输入、单输出、线性。
- 极点配置拒绝多输入系统而不是假装支持；状态空间检查是小型矩阵上的秩检验（12 个状态是特征值上限），非线性对象无法直接输入。
- 裕度描述的是采样后的回路。
- 相位裕度 51.83° 和无限增益裕度属于 K = 1 的 K·G(s)；改变 K 或加上 PID 模块，卡片就会移动。Nichols M 等值线是视觉辅助，不是鲁棒性证书。
方法陷阱
同一个 z 极点并不意味着同一个控制器。ZOH 和 matched pole-zero 都把 1/(s+1) 的极点放在 0.90483742，但它们的分子一般不同，而 Tustin 把它放在 0.9047619——接近但不相同——因为它是同一连续系统的另一种近似。引用系数时要带上方法，否则之后的比较会把定义差异看成不一致。第二个陷阱是把采样建议当目标而不是上界：0.0667 s 由最快极点导出，dt = 0.1 s 未被标记只是因为它仅是建议的 1.5 倍，而不是因为它理想。第三个是把闭环阶跃当作对象的行为：16.3 % 的超调属于 K = 1 的单位反馈回路，同一对象在开环测试中不会显示任何超调。
它适合哪里
把连续控制器变成固件
在 s 域设计，然后按回路速率离散化并检查极点图：1/(s+1) 一行就是 z 极点等于 e^(sT) 的一行证明。把得到的系数粘进固件滤波器，双线性差分方程即告完整。
在极点配置与最优控制之间选择
对 1/(s²+0.6s+1)，在 −2, −3 配置给出规格要求的快速、良阻尼响应；Q = I 的 LQR 给出 −0.74 ± 0.93j，是另一种折中，计算残差为 0。两种都跑一遍，选你能为之辩护的取舍。
隐私
所有矩阵、增益和仿真都在你的浏览器中计算；不会上传任何内容。
参考文献
- Wikipedia, Z-transform, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）——z = e^(sT) 与极点映射。
- Wikipedia, Discretization, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）——ZOH、双线性与 Euler 替换。
- Wikipedia, Pole–zero plot, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）——闭环极点配置。
- Wikipedia, Linear–quadratic regulator, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）——Riccati 方程与最优增益。
- Wikipedia, Ziegler–Nichols method, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）——极限增益整定规则。
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