使用方法
- 01选择模式，用切换行选择，或加载预设：逻辑斯蒂增长、牛顿冷却、单摆、阻尼振子、Van der Pol、Lotka–Volterra 或鞍点。
- 02输入表达式。Van der Pol 预设中的新参数
a 会立即显示为带数值框的滑块。 - 03设置视图矩形——xMin、xMax、yMin、yMax——它既是绘图窗口，也是搜索平衡点的区域。
- 04点击画布播撒轨迹（最多十二条，向前和向后）；Clear 可将其移除。预设会为你播撒一条。
- 05阅读卡片和徽标。最多八张平衡点卡片列出细化后的点及其类型；发散或被截断的轨迹会在画布上方给出警告。
计算示例
下面的卡片就是实际显示的值。
| 系统 |
卡片 |
| 捕食者–猎物预设：x′ = x*(1.1 - 0.4y), y′ = y(0.4*x - 0.4) |
(0, 0) 处的鞍点；(1, 2.75) 处的中心 |
| Van der Pol 预设：x′ = y, y′ = a*(1 - x^2)*y - x，a = 1 |
(0, 0) 处不稳定 |
从预设种子点 (1, 1) 出发，Van der Pol 的向前轨迹始终位于 x ∈ [-2.009, 2.009] 和 y ∈ [-2.678, 2.678] 内，且不出现警告徽标。
平衡点的分类方式
牛顿法细化视图内的候选根，并合并近似重复的根；每个被接受的根处的雅可比矩阵决定标签。行列式为负：鞍点。行列式为正且迹接近零：中心。迹为负：稳定。迹为正：不稳定。该判定是线性且局部的，所以卡片和轨迹讲述的是互补的两面。
假设与限制
- 一切都取决于视图矩形。
- 边界外的平衡点不会被搜索，网格扫描可能跳过间距极小的根，显示的坐标是数值根——预期存在小残差，而不是精确的零。
- 轨迹是自适应的，但仍是显式方法。
- 带自动步长控制的 Dormand–Prince RK45 会报告发散或步数上限截断，而不是画出错误的曲线；刚性很强的系统可能触及这些保护。
“不稳定”描述的是点，不是系统
Van der Pol 的卡片在 (0, 0) 处显示不稳定，但画出的轨迹并没有逃逸——它盘旋进入一个闭合的极限环，并保持在 x ∈ [-2.009, 2.009] 和 y ∈ [-2.678, 2.678] 内。两者都成立：原点是螺旋源，而远离原点的非线性阻尼会耗散能量，因此轨迹有界但永不收敛。请把分类与向量场和播撒的轨迹结合起来阅读。
适用场景
讲授定性动力学
捕食者–猎物预设在一张图里展示 (0, 0) 处的鞍点和 (1, 2.75) 处的中心；点击中心周围的闭合轨道，无需公式就能演示它与稳定点的区别。
仿真前抽查模型
加载 Van der Pol，确认振荡是自持的而非发散的，再用阻尼振子预设查看稳定平衡点。滤波面板覆盖相图无法回答的频域问题。
隐私
表达式、参数值和轨迹都在你的浏览器中计算；你输入的任何内容都不会被上传。
参考资料
- Wikipedia, Phase plane, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 轨迹、平衡点及其分类。
- Wikipedia, Lotka–Volterra equations, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 捕食者–猎物方程组及其中心。
- Wikipedia, Van der Pol oscillator, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 不稳定原点、非线性阻尼与极限环。
- Wikipedia, Dormand–Prince method, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 嵌入式 RK45 方案与自适应步长。
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