测量不确定度：GUM 与蒙特卡洛计算器

本页是用于测量不确定度的浏览器工作台。输入测量模型 y = f(x₁, …, xₙ)，为每个输入指定分布及其不确定度，页面就会并排运行 GUM 一阶定律和蒙特卡洛传播：合成标准不确定度、包含区间、灵敏度系数，以及关于线性化结果在给定包含水平下是否成立的 JCGM 101 §8 判定。采样带种子，因此相同输入可复现同一份报告。

更新 2026-10-015 个来源约 5 分钟读完

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如何运行一次传播

输入测量模型到 y = f(x₁, x₂, …) 字段 —— 4 * pi^2 * L / T^2，或科学计算器接受的任何表达式。
每个输入填一行分布（正态、矩形、三角、缩放平移 t、对数正态、反正弦）、其参数 —— 估计值与 u，或中心与半宽 a —— 以及已知时的自由度 ν。每行会显示其所隐含的 u(xᵢ)。
设置采样控制试验次数 M（默认 100 000）、种子、包含水平 68%–99.5%；计算示例保持默认值。
阅读对比两种方法给出的 y 与 u(y) 卡片、两种包含区间定义，然后是带差值的逐方法表格。
查看 cᵢ 与方差份额可前往 [Sensitivity](/science/uncertainty/sensitivity)，或前往 Adaptive M 让序列散点选择 M。

计算示例：由单摆求 g

页面打开时即为单摆预设；Pendulum g = 4π²L/T² 按钮可恢复它。模型 4 * pi^2 * L / T^2；L 正态 (1.000, 0.001)；T 正态 (2.006, 0.002)，ν = 9；M = 100 000，种子 20250101，包含水平 95%。

读数	GUM 一阶	蒙特卡洛
y	9.8106522	9.8107275
u(y)	0.0218848	0.0219124
95% 区间（对称）	[9.763744, 9.8575604]	[9.7677391, 9.8537341]
包含因子 k	2.1434	1.9622
有效自由度 ν_eff	14.096	—

另外两个读数：最短 95% 区间为 [9.7680546, 9.8540251]，§8 检查把端点差 4.00e-3 与 3.83e-3 和 δ = 5.00e-4 比较，因此拒绝验证一阶结果。灵敏度给出 c_L = 9.8107、c_T = −9.7813、|c_L|u_L = 0.009811、|c_T|u_T = 0.01956：T 承担一阶方差的 79.9%，L 占 20.1%。

GUM 一阶与蒙特卡洛

GUM 一行在输入估计值处对模型线性化 —— u_c²(y) = Σ cᵢ²u²(xᵢ) + 2Σ cᵢcⱼu(xᵢ)u(xⱼ)rᵢⱼ —— 灵敏度系数 cᵢ = ∂f/∂xᵢ 用数值方法计算，包含因子来自有效自由度。蒙特卡洛一行从每个输入分布抽取 M 个样本，对每次抽取求值模型，并从样本输出读取 y、u(y) 和区间。报告两种区间定义：概率对称（两尾相等）与最短（长度最小）；它们仅在输出对称时一致。

假设与限制

区间端点是样本分位数。: u(y) 以 1/√M 收敛 —— 此处 MC 噪声为 6.93e-5 —— 而 95% 端点在多次运行之间移动更大：Adaptive M 报告端点散点为 2.5e-4 和 2.1e-4，y 与 u(y) 为 3.7e-5 和 2.7e-5。
灵敏度份额只对输入排序，并非方差分解。: 蒙特卡洛份额一次只改变一个输入，因此缺少交互作用；输入相关时，协方差项被排除在份额之外并单独打印（双电阻预设中为 4.500e-1，两行仍显示 50%）。在 M = 100 000 时该预设的 §8 检查无法分辨这一比较；判定也如此说明。
不做的事：: 它不会把原始重复测量变成估计值与 u、不做单位换算，也不生成校准证书。要输入样本均值与标准差，请用统计计算器；不做蒙特卡洛的一阶传播，用 Science Lab 的误差面板更轻量。

为什么包含因子不总是 2

上面的 95% GUM 区间使用 k = 2.1434 而非 1.96：T 以 ν = 9 声明，韦尔奇–萨特思韦特给出 ν_eff = 14.096，k 是 t 分位数 t₀.₉₇₅(ν_eff)。蒙特卡洛一行对同样的 95% 显示 k = 1.9622 —— 经验半宽除以样本标准差。两个因子同在一张表中；§8 判定取决于端点而非 k：标准不确定度一致到 0.126%，但基于 t 的区间达到 9.8575604，而样本区间止于 9.8537341，这一差距超过 δ。ν 越小效应越大 —— t-repeat 预设（ν = 3）中 GUM 的 k 为 3.1824，MC 的 k 为 1.8558。请说明你报告的是哪一种区间。

适用场景

非线性模型

平方预设 y = x²、x ~ N(0, 1) 是线性化看不到的情形：∂f/∂x = 2x 在 0 处消失，因此 GUM 报告 u = 0，而蒙特卡洛读到 u(y) = 1.41508。

选择 M

在单摆上，Adaptive M 经 16 个序列 × 20 000 次试验 —— 320 000 次抽取 —— 后收敛，y = 9.8107167、u(y) = 0.021842，最短 95% 区间 [9.76794, 9.85328]。

参考文献

BIPM JCGM，JCGM 100:2008 — 测量数据的评估：测量不确定度表示指南，bipm.org （访问日期：2026-10-01）—— 一阶传播与有效自由度。
BIPM JCGM，JCGM 101:2008 — 补编 1：用蒙特卡洛法传播分布，bipm.org （访问日期：2026-10-01）—— 蒙特卡洛试验、包含区间、§8 容差。
NIST，技术说明 1297：NIST 测量结果不确定度的评估与表示指南，nist.gov （访问日期：2026-10-01）—— 包含因子。
维基百科，不确定度传播，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）—— 协方差项。
维基百科，韦尔奇–萨特思韦特方程，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）—— 有效自由度。