如何运行一个算例
- 01选择预设。混沌 120°、强混沌 180°/90°、准线性 3° 和轻下摆锤都是快捷芯片；滑块覆盖角度、质量、长度和 g。
- 02设置初始状态。θ₁ 与 θ₂ 取 −180° 到 180°，面板预设中初始角速度固定为零。
- 03选择时长与方法。默认运行四个特征周期；默认方法是每周期 400 步的 RK4，也可选用自适应 RK45。
- 04读取模态卡片。两个周期与一个模态比来自线性化系统——它们描述的是小摆幅极限，而不是屏幕上的大摆幅。
- 05读取混沌卡片。最大李雅普诺夫指数 λ、其 R²、初始偏移、孪生轨迹分离超过 0.1 rad 所需的时间，以及 λ 有限且为正时的李雅普诺夫时间 1/λ。
计算示例
摆杆 1 = 摆杆 2 = 1 m，g = 9.80665 m/s²，除注明外两个摆锤质量相等（1 kg）；引擎给出的两个简正模态周期：
| 系统 |
慢模态周期 |
快模态周期 |
模态比 θ₁/θ₂ |
| m₁ = m₂ = 1 kg |
2.6215 s |
1.085861 s |
±0.707107 |
| m₁ = 2 kg，m₂ = 1 kg |
2.519902 s |
1.304397 s |
±0.57735 |
| m₁ = 1 kg，m₂ = 3 kg |
2.740806 s |
0.734397 s |
±0.866025 |
对 120°/0° 预设、在面板的四周期窗口内，混沌卡片读数为 λ = 0.60934 /s（R² = 0.941）、1/λ = 1.6411 s，且孪生轨迹尚未越过 0.1 rad，因此还未到发散时间。更强的 180°/90° 预设分离得更早：λ = 1.255345 /s（R² = 0.9446）、1/λ = 0.7966 s，发散时间 5.9047 s。准线性 3° 根本不返回指数——孪生轨迹保持在一起，卡片也会这样说明。
两种音调，随后一声轰鸣
将双摆绕竖直下垂位置线性化，四个自由度约化为两个独立模态：一个两杆同向摆动（慢），一个两杆反向摆动（快）。任何小运动都是这两个音调之和，周期随质量分布变化——把更多质量放在上摆锤会减慢快模态（m₁ = 2 kg 时 1.085861 s → 1.304397 s），同时让慢模态略快。提高振幅后线性化失效：势能不再是二次的，两个模态交换能量，邻近状态以速率 λ 指数分离。一旦进入指数区间，分离就按 e^{λt} 增长，因此卡片的相空间分离——θ 与 ω 差值之和——在强混沌预设下经过 5.9047 s 达到 0.1 阈值，即初始 10⁻⁶ rad 偏移的 10⁵ 倍；朴素的 ln(10⁵)/λ 估计约为 9.2 s，因为 ω 差值在指数增长接管前是线性增长的。其李雅普诺夫时间 1/λ 为 0.7966 s。
限制与它不做的事
- λ 是拟合值，不是摆杆的属性。
- 卡片会说明其拟合窗口与 R²，因为包络会饱和；同一个 180°/90° 状态在更长的 30 s 窗口内积分拟合出 λ = 1.088 /s（R² = 0.950），而不是 1.255。引用指数时必须带上产生它的窗口。
- 无耗散、无驱动、无支点运动。
- 摆杆无摩擦，支座固定；受驱或阻尼摆是另一种模型。
陷阱：3° 不是“轻微的混沌”
小振幅并不意味着“弱混沌”——它意味着简正模态描述才是正确的。在 3° 时孪生轨迹在整个运行中从不发散：没有 λ，没有发散时间，只有两个模态周期。模态卡片在任何振幅下都可用，这会诱使人们在 120° 时也去读它，而那时它并不适用：2.6215 s 和 1.085861 s 是底部附近线性化后的周期，不是屏幕上的大摆幅周期。把模态卡片当作小运动的极限，把混沌卡片当作运动已经变成的样子。
用在何处
讲授确定性混沌
同一组确定性方程既产生可重复的 3° 振动，也产生不可预测的 120° 翻滚；运行孪生轨迹，看 10⁻⁶ rad 的差异在 180°/90° 下用 5.9047 s 增大到 0.1 rad。确定性不等于可预测性。
阻尼与结构
真实的连杆系统存在摩擦与刚度；能量漂移面板显示在任何阻尼加入之前积分器对总能量的守恒程度，模态比则显示质量分布如何移动悬架或连杆必须避开的两个共振峰。
隐私
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本页计算器
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