运行一个情形
- 01选择预设或设置角度:−179.9° 到 179.9°,可设长度、g 和质量。
- 02一起阅读周期卡片:精确周期是强调值;小角行是对比,不是答案。
- 03检查误差行:在你设置的振幅下,小角公式与精确周期相差多远。
- 04观察测量周期:它由过零点计时,并带有相对椭圆积分结果的残差。
- 05比较积分器:Euler 不断攀升,而 RK4 和速度 Verlet 保持有界。
计算示例
长度 1 m、g 9.80665 m/s²、初始角速度为零:
| 初始角度 |
精确周期 |
小角 |
T/T₀ |
小角误差 |
| 5° |
2.0073647 s |
2.0064093 s |
1.00048 |
−0.048% |
| 30° |
2.0413385 s |
2.0064093 s |
1.01741 |
−1.711% |
| 60° |
2.1532424 s |
2.0064093 s |
1.07318 |
−6.819% |
| 90° |
2.3682463 s |
2.0064093 s |
1.18034 |
−15.279% |
| 120° |
2.7545602 s |
2.0064093 s |
1.37288 |
−27.160% |
| 179° |
7.8271334 s |
2.0064093 s |
3.90107 |
−74.366% |
在 90° 时测量周期为 2.36824635 s,与椭圆积分值相差 4.18e-13;四个周期的漂移图为 Euler 3.92e-1、RK4 9.33e-10、自适应 RK45 8.75e-8 和速度 Verlet 7.16e-5。
近似在哪里结束
精确周期是椭圆积分:T = 4√(L/g)·K(sin θ₀/2),其中 K 用算术几何平均求值。熟悉的展开加入修正 T ≈ T₀(1 + θ₀²/16 + 11θ₀⁴/3072),在 90° 时预测 2.359562 s——仍比精确的 2.3682463 s 低 0.37%。单项公式在 90° 时短了 15.28%,即使两项级数也无法弥合差距。周期与质量无关;只有 L、g 和振幅起作用。
限制与不做的事
- 打印小角行是为了让误差可见;
- 定量工作请使用精确或测量周期。
- 旋转解没有振荡周期。
- 当初始能量达到摆动的顶点时,选项卡会说明,周期卡片变为 —。
秒摆
为 2 s 周期设计的单摆需要 L = 0.993621 m,T₀ = 2.000000 s。但仅在 2° 时精确周期就是 2.0001523 s,已经长了 0.008%:用小角数值校准时钟,振幅就成了误差预算的一部分。从 5° 扫描到 179°,周期跨度达 3.9×。
适用场景
时钟与节拍器
周期只取决于长度和 g,所以摆锤质量变化时固定摆杆仍能计时;精确卡片显示调节螺钉吸收的修正量。
讲授非线性动力学
表格显示近似随振幅平滑失效,漂移图显示为什么积分器与模型同等重要。
隐私
积分在你的浏览器中运行;参数、轨迹和结果都不会离开设备。
参考资料
- Wikipedia,Pendulum (mechanics)——精确周期与小角展开。en.wikipedia.org (访问日期:2026-10-07)
- Wikipedia,Elliptic integral——K(k) 与 AGM 求值。en.wikipedia.org (访问日期:2026-10-07)
- Wikipedia,Small-angle approximation——sin θ ≈ θ 与 θ²/16 修正。en.wikipedia.org (访问日期:2026-10-07)
- NIST Special Publication 811,附录 B.8——标准重力加速度 9.806 65 m/s²。nist.gov (访问日期:2026-10-07)
- Wikipedia,Symplectic integrator——速度 Verlet 的有界能量行为。en.wikipedia.org (访问日期:2026-10-07)
本页计算器
精选工具,点开即用;小工具可直接试算,数值会带入完整计算器。