运行一个情形
- 01选择预设。无阻力 45° 恢复默认值；线性和二次切换阻力模型与系数。
- 02设置发射。速度、角度、质量、g 和发射高度用滑块或输入值。
- 03选择阻力。无、线性（−b·v，b 单位 N·s/m）或二次（−c·|v|·v，c 单位 N·s²/m²）。
- 04阅读卡片。射程是强调值；开启阻力后，最后几行与无阻力运行对比。
- 05复用运行。播放或拖动、比较积分器，或把路径作为表格发送。
计算示例
质量 1 kg、g 9.80665 m/s²，从地面以 30 m/s、45° 发射：
| 读数 |
无阻力 |
线性阻力，b = 0.25 |
| 射程 |
91.7745 m |
51.6161 m（−43.8%） |
| 最大高度 |
22.9436 m |
17.0233 m |
| 飞行时间 |
4.32629 s |
3.74905 s |
| 撞击速度 · 角度 |
30.0 m/s · −45.0° |
17.633 m/s · −61.9° |
| 到达顶点的时间 |
2.16314 s |
1.72917 s |
| 终端速度 |
— |
39.2266 m/s |
| 撞击时损失的能量 |
— |
65.45% |
无阻力行还会打印闭式射程和 2.14e-14 的相对偏差——积分器的残差。
阻力改变了什么
线性阻力按速度成比例地削减速度：水平运动指数衰减，垂直运动趋近终端速度 mg/b = 39.2266 m/s，而这次发射永远达不到。抛物线变得不对称——顶点在 1.729 s 到来，但飞行持续 3.749 s——抛体以 −61.9° 落地，比出发时陡得多。其余由能量卡片解释：初始机械能的 65.45% 在撞击前消失。
限制与不做的事
- 闭式射程有前提。
- R = v₀²sin(2θ)/g 假设回到发射高度；当 h₀ 高于地面时，解析行使用一般解。
- 只有两种简单阻力定律。
- 系数恒定：不考虑空气密度、高度、风、雷诺数、马格努斯或旋转效应。
陷阱：终端速度不是撞击速度
线性阻力运行报告终端速度 39.2266 m/s 和撞击速度 17.633 m/s，这个差距让人意外：终端速度是长时间垂直下落会趋近的极限，而不是这段短飞行能达到的速度。把它读作阻力系数的性质。同一次运行把射程从 91.7745 m 缩短到 51.6161 m——43.8%——而最大高度只下降 25.8%，所以阻力让弧线变平的程度不亚于缩短的程度。
适用场景
体育与弹道
比较 30 m/s 的踢球或投掷在有阻力和无阻力下的结果，看空气带走多少射程；撞击角显示球到达时有多陡。
讲授真空近似
两行并排：无阻力抛物线是教科书情形，阻力行显示教科书在何处不再有用。
隐私
模拟完全在你的浏览器中运行；发射参数、轨迹和结果都不会上传。
参考资料
- Wikipedia，Projectile motion——无阻力射程及其假设。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Drag (physics)——线性与二次阻力、终端速度。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- NASA Glenn Research Center，Terminal Velocity——重力与阻力的平衡。grc.nasa.gov （访问日期：2026-10-07）
- NIST Special Publication 811，附录 B.8——标准重力加速度 9.806 65 m/s²。nist.gov （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Equations of motion——积分器求解的初值问题。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
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