Kepler 标签页求解什么
物理仿真中心的 Kepler 标签页从近地点状态积分理想的平面二体问题 r″ = −μ·r/|r|³：质点从距离 r_p 处出发，运动方向垂直于半径。三个滑块——偏心率 e、近地点 r_p 和引力参数 μ = G(m₁+m₂)——覆盖圆、椭圆、抛物线和双曲线。卡片报告轨道类型、比能量、角动量、半长轴、近地点与远地点、周期，以及实测轨道对闭式圆锥曲线的残差。
如何运行一个算例
- 01选择一个预设。圆、椭圆 e = 0.6、偏心 e = 0.9、抛物线逃逸 e = 1 和双曲线 e = 1.5 以芯片形式提供。
- 02设置 e、r_p 和 μ。发射速度只由 e 决定：v = √(μ(1+e)/r_p)。
- 03选择积分器与分辨率。每周期 400 步的 RK4 是默认；当近地点通过欠采样时，自适应 RK45 就是解法。
- 04读取轨道要素。类型、能量、角动量 h、a、e、r_p/r_a 和周期——周期卡片对开放轨道不显示任何内容。
- 05检查自检。开普勒第三定律偏差把事件测得的周期与 2π√(a³/μ) 比较，圆锥曲线残差把路径与 r = p/(1+e·cosθ) 比较。
计算示例
μ = 1、近地点 r_p = 1；只有偏心率在变，发射速度随之变化：
| e |
发射速度 |
比能量 ε |
h |
半长轴 a |
r_p / r_a |
周期 |
圆锥曲线残差 |
| 0 |
1 |
−0.5 |
1 |
1 |
1 / 1 |
6.283185 s |
— |
| 0.2 |
1.095445 |
−0.4 |
1.095445 |
1.25 |
1 / 1.5 |
8.781018 s |
1.65e-7 |
| 1 |
1.414214 |
0 |
1.414214 |
— |
1 / — |
— |
9.17e-8 |
| 2 |
1.732051 |
0.5 |
1.732051 |
−1 |
1 / — |
— |
1.12e-7 |
e = 0.2 时仿真周期为 8.781019 s，公式为 8.781018 s——开普勒第三定律偏差 1.77e-8——守恒量也保持良好：能量漂移 4.81e-8、角动量漂移 3.08e-8。抛物线和双曲线运行没有周期卡片，守恒同样紧致：e = 1 和 e = 2 时能量漂移 5.77e-9 和 8.80e-9，圆锥曲线残差低于 1.2e-7。
能量是分类器
vis-viva 关系把速度拆成引力所需的部分和轨道剩下的部分。比能量 ε = v²/2 − μ/r 对每个束缚轨道为负，在逃逸处恰好为零，飞掠时为正；同一个数通过 a = −μ/(2ε) 决定半长轴。r_p = 1 时，圆速度 √(μ/r_p) = 1 需要 ε = −0.5；逃逸速度 √(2μ/r_p) = 1.414214 就是抛物线，此时 ε = 0；比它更快就是双曲线，永远离去。偏心率由 h 和 ε 得出，所以形状不是独立输入——设定 e 就设定了速度，引擎再从状态中恢复 e。
限制与不做的事
- 两个质点、一个平面。
- 没有第三体摄动、扁率（J₂）、阻力、相对论、潮汐力或推进点火；轨道是完美的圆锥曲线。
- 开放轨道的卡片止于定义域边界。
- e ≥ 1 时半长轴为负（双曲线）或不存在（抛物线），周期行按设计留空，而不是填零。
陷阱：逃逸不是减速
逃逸并不意味着质点漂走——e = 1 时它在近地点仍最快，1.414214，此后永远减速，速度只在无限远的未来趋近于零。卡片里还有两个陷阱。第一，双曲线轨道报告负的半长轴，e = 2 时为 −1；这个符号是 a = −μ/(2ε) 的约定，不是错误。第二，极小的偏心率仍是真实轨道而不是圆：e = 0.2 时半径从 1 摆动到 1.5，变化 50%，而形状看上去只是略微变扁。
使用场景
讲解圆锥曲线族
四种情形只差一个滑块和一个速度。能量卡片对束缚椭圆读出 −0.4，抛物线 0，同一近地点的双曲线 +0.5；周期卡片只在轨道返回期间出现。
近地点附近的积分器精度
中心的积分器陷阱就在这个标签页里：每周期 400 步的 RK4 会过早闭合长偏心轨道，而圆锥曲线残差和琥珀色警告指出解法。用两种积分器各跑 e = 0.2 和 e = 2，看残差如何分开。
隐私
轨道积分和要素求解器在你的浏览器中运行；参数和轨迹从不离开设备。
本页计算器
精选工具,点开即用;小工具可直接试算,数值会带入完整计算器。