如何运行一次计算
- 01选择系统——从标签栏选择或打开其 URL；预设标签填入已知工况，方程卡片给出模型及其守恒量。
- 02设置参数——用滑块或输入框设置速度、角度（度）、质量和 g；摆长与频率；阻尼与刚度；偏心率、近拱点和 μ；电荷、场和初速度。
- 03选择积分器和分辨率。可分离系统提供 Explicit Euler、Classic RK4、Adaptive RK45（Dormand–Prince）和 Velocity Verlet（辛积分）；
Compare integrators 会全部运行。除抛体外，运行持续若干特征周期（E×B 为回旋周期），由 steps per period 决定步长。 - 04播放、拖动、读取。以 1× 到 16× 播放，拖动时间条，切换轨迹；结果卡片给出主要数字，置信标签说明方法、其残差以及任何琥珀色警告。
- 05复用结果。可以发布卡片、固定卡片、加入报告，或把轨迹作为表格、把主要序列作为向量发送；
open with these inputs 恢复快照。发送到这里的表达式会成为自定义弹簧驱动力 F(t)。
计算示例
所有读数都来自默认积分器（RK4，每个特征周期 400 步）下的这些面板。
| 面板 · 输入 |
读数 |
| 抛体 · Drag-free 45°，v₀ 30 m/s |
射程 91.7745 m，最大高度 22.9436 m，飞行 4.32629 s；相对 v₀²sin2θ/g 的偏差 2.63e-15 |
| 抛体 · 二次阻力，40° 时 60 m/s，c 0.012 |
射程 104.524 m，落地 22.694 m/s at -64.71°，终末速度 28.587 m/s；无阻力射程 361.52 m（−71.1%） |
| 单摆 · 60°，L 1 m |
精确周期 2.153242 s，小角度 2.006409 s (-6.819%) |
| 弹簧 · m 1 kg，c 0.4 N·s/m，k 16 N/m |
ω_n 4 rad/s，ζ 0.05，ω_d 3.995 rad/s，c_c 8 N·s/m，Q 10 |
| Kepler · 椭圆 e 0.6，r_p 1，μ 1 |
周期 24.83647 s，实测 24.83645 s，a 2.5，r_p/r_a 1 / 4，Kepler-III 偏差 7.43e-7 |
| 双摆 · 强混沌 180°/90° |
简正模 2.6215 / 1.0859 s，λ 1.255 /s (R²=0.945)，1/λ 0.7966 s |
| E×B 漂移 · q 1 C，m 1 kg，Eₓ 1 V/m，B_z 2 T |
v_d (0, -0.5) m/s，实测 (-5.0401e-10, -0.5) m/s，ω_c 2 rad/s，回旋周期 3.14159 s，回旋半径 0.559017 m |
对于这些共享值——R = v₀²sin2θ/g、T = 2π√(a³/μ)、v_d = E×B/B²——理论与模拟在 1e-7 或更好（无阻力射程上为 2.63e-15）范围内一致，面板会打印残差。
假设与限制
- 每个标签页一个模型。
- 抛体从高度 h₀ 开始，阻力默认关闭（开启时为 -bv 线性或 -c|v|v 二次），射程闭式公式假设回到发射高度。单摆保留 sin θ——小角度 T₀ 只是对照行。弹簧是由 F₀cos ωt 或输入的 F(t) 驱动的线性阻尼器；Kepler 是理想平面二体问题；E×B 使用 B 沿 z 方向的均匀静态场。
- 步长决定精度。
- 固定步长的 Euler 和 RK4 无法充分解析快速通过段；漂移图和琥珀色警告会量化这一点并给出解决办法——自适应 RK45 或增加每周期步数。读数在显示时取整（多为六位有效数字），受迫弹簧的数值稳态振幅只有在瞬态衰减后才有意义。
积分器陷阱：过早闭合的轨道
在 Kepler 标签页加载 Eccentric e=0.9（r_p 1，μ 1），让 RK4 保持每周期 400 步：测得周期为 190.7812 s，而 2π√(a³/μ) = 198.6918 s——Kepler-III 偏差 3.98e-2——圆锥曲线拟合残差 1.36e-1，并出现近拱点解析不足的琥珀色警告。步长跟不上快速近拱点通过，误差表现为虚假进动，椭圆提前约 4% 闭合。切换到自适应 RK45 后读数为 198.6918 s、1.85e-7、2.53e-7；即使默认的 e = 0.6 椭圆在 RK4 下也会触发警告（残差 3.55e-6），而 RK45 可以消除（1.98e-7）。
实验用途
教学与课程
单摆让小角度误差可见：5° 时 T₀ 仅偏离精确值 2.007365 s 的 -0.048%，60° 时比 2.153242 s 短 -6.819%，179° 时周期为 7.82713 s，T/T₀ = 3.90107，误差 -74.366%。漂移图教会人们认识积分器：四个周期内 Euler 的能量漂移达到 4.43e-1，RK4 保持 5.13e-10，Velocity Verlet 在 6.51e-5 内振荡而不上升。
弹道与体育
阻力改写飞行：40°、60 m/s、c = 0.012 的抛体落在 104.524 m 而非 361.52 m（−71.1%），以 -64.71° 到达，损失 85.69% 的机械能，终末速度为 28.587 m/s。
轨道与等离子体
e = 0.6 的轨道给出 a = 2.5、r_p/r_a = 1 / 4、ε = -0.2、h = 1.26491，辛积分运行将角动量保持在 4.39e-15。在 E×B 标签页，负电荷预设仍保持 v_d = (0, -0.5) m/s——漂移与电荷符号和质量无关。
隐私
六个模拟都在你的浏览器内运行；你输入或计算的内容不会上传。本页是静态文本，不记录任何输入。
参考文献
- BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 第 9 版——整个实验使用的 SI 单位。 bipm.org （访问日期：2026-10-01）
- NIST Special Publication 811, 附录 B.8——标准重力加速度 9.806 65 m/s²，即默认的 g。 nist.gov （访问日期：2026-10-01）
- Wikipedia, Pendulum (mechanics)——精确周期 4√(L/g)·K(sin θ₀/2) 与小角展开。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
- Wikipedia, Kepler's laws of planetary motion——按能量划分轨道与周期 T = 2π√(a³/μ)。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
- Wikipedia, Guiding center——E×B 漂移 v_d = E×B/B²，与电荷符号和质量无关。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
- Wikipedia, Lyapunov time——邻近轨道的指数分离与混沌时域 1/λ。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
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